Intuition leder fram till matematisk precision

Intuition är en av de viktigaste egenskaperna om man vill navigera rätt i matematikens värld. Det menar Georgios Dimitroglou Rizell, som forskar i matematik vid Uppsala universitet. Som Wallenberg Academy Fellow har han tagit sig an vidareutvecklingen av symplektisk geometri, idag ett hett område med nära kopplingar till fysiken och strängteorin.

Georgios Dimitroglou Rizell

Fil dr i matematik

Wallenberg Academy Fellow 2016

Lärosäte:
Uppsala universitet

Forskningsområde:
Kontakt- och symplektisk topologi/geometri, särskilt utforskandet och klassificerandet av Lagrangianska delmångfalder.

Georgios Dimitroglou Rizell tar emot på sitt arbetsrum i Ångströmlaboratoriet. Genom fönstret kan man se ut över slättlandskapet bort mot den gamla jordbruksbygden nära Danmarks kyrka. Men i yrket som matematisk forskare spelar inte den geografiska platsen så stor roll – istället tilldrar sig de viktiga händelserna inuti hjärnan.

– En fascination med matematiken är att man alltid bär den med sig. Det räcker med att använda sitt huvud för att besöka den matematiska världen, säger Georgios.

Detta faktum har inte hindrat den unge matematikern från att vistas i flera internationella forskarmiljöer efter sin disputation vid Uppsala universitet 2012. Georgios har bland annat varit postdoktor i Bryssel och Paris, och efter det reste han till Cambridge i England som postdoktor under två år. Tjänsten finansierades av Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse inom ramen för Wallenbergs akademiprogram för matematik.

– Cambridge är en av de mest avancerade miljöerna i världen. Det råder hög nivå på alla seminarier och man vet att de idéer som diskuteras alltid ligger nära forskningens ”cutting edge”.

Nu har han återvänt till sitt alma mater, Uppsala universitet, och framhåller att forskarmiljön har ryckt fram även på hemmaplan, bland annat som en följd av de strategiska satsningarna för att stärka svensk matematik.

Begrepp med rötter i 1800-talet

Framför allt ägnar sig Georgios åt symplektisk geometri, ett begrepp med rötter i 1800-talet då den irländske matematikern Hamilton omformulerade ekvationerna för Newtons klassiska mekanik, till exempel hur planeterna rör sig i sina banor. Formlerna fick ett geometriskt språk som gjorde de lättare att lösa, och lösningarnas egenskaper blev lättare att beskriva.

När den klassiska mekaniken senare utvecklades till kvantmekanik använde forskare på nytt det Hamiltonska synsättet för att förenkla ekvationerna.

Men det var först på 1980-talet som man insåg den stora potentialen i att utforska symplektisk geometri för dess egen skull. Ett genombrott kom då den rysk-franske matematikern Gromov lade fram sina rön.

– Sedan dess har de flesta av oss, inom ämnet, använt hans metod för att försöka förstå så mycket som möjligt om den symplektiska strukturen.

Gränslandet mellan matematik och fysik

Forskningen rör sig i gränslandet till teoretisk fysik och är idag ett av de mest centrala och blomstrande områdena inom matematiken.

– Symplektiska strukturer bär på en rikedom i flera avseenden. De är djupa, svåra att greppa och har visat sig kunna avkoda viktig information om olika matematiska fenomen. Modern symplektisk geometri har även tillämpningar för förståelsen av Hamiltonska dynamiska system, som alltså rör teorins ursprungliga användningsområde.

Utforskandet av de symplektiska rummen kan bland annat leda till en bättre förståelse för hur kroppar rör sig och hur banor ser ut. Georgios fortsätter också teoribygget genom att utforska och klassificera något som kallas Lagrangianska delmångfalder. De är delrum vars egenskaper är viktiga för förståelsen av det omgivande symplektiska rummet.

Men det finns också kopplingar till fysikernas strängteori, en modell som är tänkt att förklara hela tillvarons uppbyggnad. Här finns ett samband till en del av matematiken som kallas topologi och särskilt studier av knutar.

Matematiska knutar kan beskrivas som en sorts tilltrasslade snören i rummet som är hoplimmade i båda ändar. Det finns oändligt många olika knutar och en av de stora utmaningarna är att hitta nya beräkningsbara metoder för att skilja knutarna åt. Tillämpningarna är många, bland annat inom fysikens strängteori och kvantteori, men också i studier av till exempel protein och DNA.

– Fysiker sysslar med samma rum som vi håller på med och det finns vissa fysikaliska principer som vägleder deras matematiska resonemang. Det kan ibland öppna matematiska dörrar. Jag ser närheten till fysiken som en viktig inspiration och försöker hela tiden lära mig mer.

”Jag är glad och tacksam för utnämningen. Det känns bra på ett personligt plan att bli uppmärksammad, men framför allt betyder det mycket att erhålla ekonomiska medel för att utveckla forskningen i Uppsala. Bland annat kan vi rekrytera fler doktorander till gruppen och stärka miljön ytterligare.”

Intuition en viktig egenskap

Matematiker träffas på seminarier och konferenser världen över och nya forskningsartiklar skrivs ofta av två eller flera kollegor tillsammans.

– När man har klart för sig vilka problem som ska lösas så är det bra att ha tillgång till många hjärnor. Då finns ett kollektivt anslag där det stora målet blir att nå en gemensam förståelse av ett helt matematiskt fält.

Men fortfarande är det ensamma grubblandet en given del av forskningen.

– Någonstans måste man sitta ner med papper och penna, och bara få tid att tänka och skissa. I den processen är intuitionen viktig. Genom alla års erfarenhet i ämnet får man en intuition. Man blir bekant med den matematiska världen, hur saker ska vara sammankopplade och vilka fenomen som styrs av andra fenomen. Om man leds rätt så kan man i slutänden skriva ner ett precist formulerat matematiskt bevis där argumentet kan följas rad för rad som i ett datorprogram.

Text Nils Johan Tjärnlund
Bild Magnus Bergström