Studerar abstrakta rum med algebraisk geometri

Dan Petersen tar hjälp av geometri för att hitta lösningar på komplicerade matematiska ekvationer och problem. Som Wallenberg Academy Fellow forskar han om så kallade modulirum och Riemannytor, en typ av tvådimensionella ytor som har en viktig roll inom matematik och fysik.

Dan Petersen

Dr i matematik

Wallenberg Academy Fellow 2017

Lärosäte:
Stockholms universitet

Forskningsområde:
Algebraisk geometri, topologiska egenskaper hos modulirum av Riemannytor.

För den oinvigde kan Dan Petersens forskning te sig abstrakt och svår att greppa.

– Jag har ju i olika sammanhang, till exempel på en fest, försökt förklara för icke-matematiker vad det är jag arbetar med. Men ärligt talat har jag nog aldrig lyckats, säger han och skrattar.

Gardinerna i Dan Petersens kontor är fördragna så att han kan tänka ostört. När han arbetar själv använder han endast papper och penna.

– Ofta ritar jag inte ens något som ser ut som matematik, de kan bli små gubbar eller något annat, men jag måste ändå sitta med papper och penna. Men i diskussioner med kollegor måste man ha en svart tavla eller whiteboard att rita på. Det är väldigt svårt att förklara sina tankeprocesser och omsätta dem till ord när man pratar med andra människor.

Det finns två sorters matematisk forskning, tillämpad och ren matematik, förklarar Dan Petersen.

– I ren matematik, som jag håller på med, vill man förstå något som är en naturlig matematisk fråga som vi inte vet svaret på. Det finns jättemånga sådana frågor kvar att svara på. I tillämpad matematik handlar det mer om att hitta något som är användbart. Historien har dock i många fall visat att upptäckter inom ren matematik på lite längre sikt fått tillämpningar även utanför frågan som studerades.

Valde matte

Idag har nästan alla grenar av ren matematik beröringspunkter med algebraisk geometri, berättar Dan Petersen. Det var i början av 1950-talet som området fick en central roll inom matematikforskningen, tack vare den franske matematikern Alexander Grothendieck.

– Han hade en väldigt abstrakt tolkning av vad det betyder att lösa en ekvation. Att lösa en ekvation kan vara nästan vad som helst och då kan man använda geometriskt tankesätt för att lösa många olika matematiska problem. Det här har visat sig vara mycket användbart.

Dan Petersens intresse för matematik väcktes under utbildningen till civilingenjör i teknisk fysik på KTH.

– Det fanns möjlighet att läsa mer avancerade mattekurser och det var väldigt kul. Jag gillade att få uppgifter där man skulle bevisa något, det var mer som att lägga ett pussel än att bara räkna ut något. Det var en otroligt tillfredsställande känsla när man fick det att stämma.

Nästa steg blev en doktorsexamen i matematik och algebraisk geometri på KTH.

– Jag har fortsatt att arbeta inom samma område men jag har också breddat mig lite och håller även på med matematiska ämnen som topologi och talteori.

Efter en tid som postdoktor vid ETH Zürich i Schweiz arbetade Dan Petersen som biträdande lektor vid Köpenhamns universitet. Sedan 2017 är hans arbetsplats Stockholms universitets matematiska institution som huserar i området Kräftriket, ett stenkast från Brunnsviken.

”Det ger sinnesro att veta att jag inte behöver söka pengar på fem år, jag kan fokusera på min forskning och att bygga upp min forskargrupp.”

Vill förstå modulirum

Som Wallenberg Academy Fellow fördjupar han sitt arbete om fysiska egenskaper, topologin, hos så kallade modulirum för Riemannytor. Riemannytor introducerades på 1800-talet och spelar idag en viktig roll inom många vetenskapsfält, till exempel matematikens talteori och fysikens strängteori.

Det finns en djup matematisk sats som säger att en Riemannyta uppkommer i nollstället av en polynomekvation, förklarar Dan Petersen och ritar på sin whiteboard.

– En Riemannyta är en tvådimensionell yta med en speciell egenskap. Är man en liten figur som bor på den här ytan så kan man inte mäta avstånd mellan två punkter, men man kan mäta vinklar mellan två linjer som möts.

Modulirummet beskriver hur Riemannytor kan deformeras, fortsätter Dan Petersen.

– Om man har en sån här Riemannyta kan man föreställa sig att man böjer den en aning, så att vinklarna ändras lite. Då skapas en ny Riemannyta som ser nästan likadan ut, och man kan fråga sig på hur många olika sätt det här kan göras. När man deformerar Riemannytan så flyttar man sig runt i det geometriska rum som vi kallar modulirum. Det är det rummet som jag försöker förstå hur det ser ut.

Om storslagna mål

Dan Petersen konstaterar att det är svårt att få till en bra blandning av realistiska och storslagna projektmål.

– Har man bara realistiska mål då kommer man ingenstans, och med bara storslagna mål händer inte heller så mycket. Men om jag i mina vildaste fantasier fick önska vad jag skulle kunna bevisa, då skulle det handla om att använda modulirum för att geometriskt tolka något som kan visa irrationalitet i en serie tal som kallas multipla zeta-värden.

Hösten 2018 fick Dan Petersen ta emot Wallenbergpriset i matematik för sitt arbete inom algebraisk geometri. Det delas ut av Svenska Matematikersamfundet till löftesrika unga svenska matematiker. Dan Petersen har framgångarna till trots en ödmjuk inställning till sin forskning.

– Den stora delen av tiden jag är på jobbet famlar jag i blindo, så man får ta tillvara på de tillfällen när man känner att nu blev det bra.

Text Susanne Rosén
Bild Magnus Bergström