På jakt efter matematikens gemensamma grunder

Jakob Zimmermann som disputerade i matematik vid Uppsala universitet 2018, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos docent Vanessa Miemietz vid University of East Anglia, Norwich, Storbritannien.

Det planerade projektet ligger inom ett relativt nyskapat område inom matematiken – den högre representationsteorin. Traditionellt är representation en funktion som omvandlar inmatade matematiska storheter och begrepp till andra storheter och begrepp med en förhoppning att de då blir lättare att handskas med. Ibland är resultatet inte nödvändigtvis enklare, vinsten kan istället bli helt nya insikter.

Så har skett inom kategoriteorin, en gren av den moderna matematiken som växte fram efter andra världskriget och där matematiska begrepp uppgraderas till mer generella begrepp genom en process kallad kategorifiering. Förhoppningen är att på sikt skapa en generalisering av stora delar av matematiken. Genom att formulera matematik på en mer abstrakt nivå kan man avslöja en gemensam struktur bakom flera delområden som annars inte verkar relaterade.

Den högre representationsteorin växte fram ur försöken att tillämpa kategorifieringsidéer på vissa problem inom algebra och geometri. Ett sätt var att skapa helt nya objekt, kallade 2-kategorier, som bland annat visade sig användbara i studier av knutar – enkla slutna kurvor i det tredimensionella rummet. 2-kategorier har blivit en av de viktigaste ingredienserna i alla tillämpningar av kategorifieringar. Ur försöken att finna en abstrakt grund för dem alla utvecklas numera intensivt 2-representationsteorin.

Ett av målen för projektet är att fördjupa förståelsen för en särskild klass av 2-kategorier. I förlängningen kan detta leda till en utveckling av den abstrakta representationsteorin för allmänna 2-kategorier och studier av teorins tillämpningar inom andra delar av matematiken.