Primtalens mysterier leder till ny matematik

Dr Anders Södergren får anslag till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Institutionen för Matematiska Vetenskaper vid Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet.

Huvudmålet med det föreslagna forskningsprojektet är detaljerade studier av problem som ligger i skärningspunkten mellan analytisk talteori och aritmetisk statistik. Av speciellt intresse här är fördelningen av nollställen till centrala funktioner inom den analytiska talteorin – L-funktionerna. 

Det finns miljarder av olika L-funktioner, och den mest kända av dem är alla L-funktionernas ursprung – Riemanns zetafunktion. I den döljer sig många hemligheter om hur primtalen är fördelade bland de naturliga talen. Att primtalsfördelningen, som är kopplad till zetafunktionens nollställen, är maximalt slumpmässig, tror de flesta. Detta säger även den berömda Riemannhypotesen som sedan drygt 150 år tillbaka gäckar forskarna. Ingen har ännu lyckats bevisa den, Millenniumpriset på en miljon dollar väntar den som kan.  

Mycket riktigt, om man tittar på enskilda primtal verkar de vara helt slumpmässigt fördelade bland de naturliga talen vilket stämmer med Riemannhypotesen. Å andra sidan följer den globala distributionen av primtal väl definierade statistiska lagar. Många matematiker är övertygade om att vägen till ett bevis på Riemannhypotesen kommer att gå genom familjer av L-funktioner. Deras nollställen är svåra att undersöka var och en för sig, men det går att studera nollställenas statistiska egenskaper. 

Ett sätt att utforska L-funktionernas nollställen beskrevs för ett tjugotal år sedan av den så kallade Katz-Sarnaks förmodan. Förmodan kombinerar metoder från algebraisk geometri med teorin om slumpmatriser för att få exakta förutsägelser om den statistiska fördelningen av nollställen i vissa familjer av L-funktioner. Förhoppningen är att projektet kommer att leda till precisa resultat som bekräftar flera olika aspekter av Katz-Sarnaks förmodan. En del av de nödvändiga teknikerna saknas fortfarande – att utveckla lämpliga verktyg är en viktig del av detta projekt.