Att utforska teorin för oändligt flexibla verktyg

Anna Rodriguez Rasmussen som ska disputera i matematik vid Uppsala universitet 2026, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Sibylle Schroll vid Universität zu Köln, Tyskland. 

Representationsteorin handlar om att förstå abstrakta algebraiska strukturer genom att beskriva dem med hjälp av mer välbekanta verktyg från linjär algebra, som matriser och linjära transformationer. Genom att översätta abstrakta problem till ett mer konkret sammanhang kan man blottlägga nya egenskaper hos objekten och i många fall förenkla beräkningar. 

Bland de mest grundläggande objekt som representationsteorin behandlar återfinns algebror, det vill säga mängder av objekt försedda med binära operationer såsom addition och multiplikation. De vanliga talen utgör ett klassiskt exempel på en sådan algebra. 

De algebror som studeras inom det planerade projektet är emellertid av ett mer sofistikerat slag, så kallade A_∞-algebror. Till skillnad från vanliga algebror innehåller en A_∞-algebra, utöver de grundläggande operationerna, även en följd av successiva korrigeringar, och oändlighetstecknet markerar att antalet sådana korrigeringar i princip kan vara obegränsat.

Just denna rika struktur gör A_∞-algebror särskilt kraftfulla. De kan avslöja finstämda samband mellan algebra och geometri som annars är svåra att upptäcka. Metoderna har också fått betydelse långt utanför sitt ursprungliga sammanhang och har bland annat bidragit till att formulera striktare matematiska grunder för kvantteori och modern strängteori.

Under de senaste decennierna har A_∞-teorin visat sig ha en betydligt bredare räckvidd. Det som först betraktades som ett tekniskt hjälpmedel inom geometri och topologi har visat sig vara ett mångsidigt verktyg även för rent algebraiska och representationsteoretiska problem. Det är dessa nya användningsområden för A_∞-strukturer som står i centrum för detta projekt.

Foto: Privat