Algebra bringar ordning bland de topologiska rummen

Bashar Saleh, som ska disputera i matematik vid Stockholms universitet 2020, har erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Joana Cirici vid Universitat de Barcelona, Spanien.

Bashar Salehs projekt handlar om att klassificera geometriska rum som är centrala studieobjekt för matematikgrenen topologi. För en topolog är en bagel och en kaffekopp med ett handtag likvärdiga eftersom var och en har ett enda hål, och var och en kan omvandlas till den andra utan att rivas eller skäras. Men de är inte likvärdiga med en sfär.

En av matematikens största frågor under det förra seklet handlade just om sfärer. År 1904 formulerade Henri Poincaré en förmodan om att en tredimensionell sfär är det enda slutna tredimensionella rum där alla slutna kurvor kan deformeras till en punkt. Först efter nästan 100 år lyckades ryssen Grigorij Perelman bevisa denna för topologin grundläggande förmodan. Han belönades med millenniumpriset på en miljon dollar som hade utlovats till var och en som löste något av världens sju svåraste matematiska problem. Perelman var dock varken intresserad av pengar eller ära. Beviset för Poincarés förmodan byggde på hans föregångares arbeten, menade han.

De mödosamma försöken under 1900-talet satte fart på den algebraiska topologin, ett ämne som kombinerar de topologiska rummen med algebraiska objekt. På så sätt kan algebraiska objekt och metoder vara till hjälp för att lösa klassificeringsproblemen när topologin blir alltför komplicerad. Och även omvänt, vissa algebraiska objekt kan hanteras lättare av topologins verktyg.

Bashar Saleh kommer att undersöka en slags familj av funktioner, så kallade fibreringar, som kan klassificeras med hjälp av en särskild sorts topologiska rum (klassificeringsrum av homotopiautomorfier). Rummen är i sin tur svåra att beskriva geometriskt, och därför kommer tyngdpunkten i projektet att ligga på att skapa modeller av dessa topologiska rum med hjälp av algebraiska tekniker.

 Foto: Stockholms universitet