Slumpen fångad i matematiska modeller

Docent Cecilia Holmgren får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Matematiska institutionen, Uppsala universitet.

Slumpen är en naturlig del av livet, och inom sannolikhetsteorin byggs modeller upp för slumpen. Slumpmässiga grafer och träd, som är projektets specialområde, har förutom rent teoretiskt intresse också en mängd tillämpningar – från modeller för sociala nätverk och spridning av sjukdomar till sökmotorer på internet.

I en slumpgraf kopplas slumpmässigt ett antal noder (som datorservrar eller personer) till varandra. En form av slumpgraf är ett slumpträd som påminner om ett vanligt släktträd med en urfader i roten. En intressant klass av slumpmässigt konstruerade träd är splitträd. Dessa är nära kopplade till sökalgoritmer inom datavetenskap där objekten representerar data som ska sorteras i ordning. 

Andra viktiga slumpträd som Cecilia Holmgren forskar på är så kallade Galton-Watson träd. Galton och Watson räknade ut att en viss adelssläkt skulle kunna leva vidare för alltid om männen i släkten i genomsnitt fick mer än en son. Om de i genomsnitt fick mindre än en son skulle adelssläkten säkert dö ut. Här visar sig talet ett vara ett så kallat tröskelvärde, där små förändringar på värdet har stora konsekvenser. Samma värde dyker upp igen som ett omtalat tröskelvärde under coronapandemin. Där diskuterades ofta sjukdomens R-tal, hur många personer en smittad person smittar i medeltal. Om detta värde är mindre än 1 så dör sjukdomen till slut ut. Då en liten förändring kring tröskelvärdet får stora konsekvenser kallas processen för fasövergång och fasövergångar hos slumpmässiga processer och deras globala beteenden är ett av ämnena för den aktuella forskningen.

Det övergripande målet för projektet är att dels finna nya matematiska metoder för att analysera slumpgrafer, dels att kunna använda dessa metoder för att få fram allmänna resultat som gäller för stora klasser av slumpträd och andra slumpgrafer. 

Bild Jaan Koort