Bångstyriga vågor får sin lösning

Dag Nilsson, som disputerade i matematik vid Lunds universitet 2018, har erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Mark Groves, Universität des Saarlandes i Saarbrücken, Tyskland.

Världen är fylld av periodiska fenomen. Solen stiger upp varje dag, nymåne dyker alltid upp efter 29,5 dagar, sommaren får vi varje år. Periodicitet är även vanligt förekommande inom vågutbredning. Redan under 1700-talet formulerades ekvationer som beskriver vågrörelser. Svårigheten är att vågutbredning ofta ges av icke-linjära partiella differentialekvationer som är notoriskt svåra att lösa. 

Målet med Dag Nilssons projekt är att bevisa att det finns lösningar till tre utvalda ekvationer som uppträder i flödesdynamik. Den ena beskriver hydroelastiska vågor som fortplantas på ytan av ett tunt istäcke. Den andra beskriver dubbelt periodiska vågor över ett rotationellt flöde. Den tredje har sin källa i plasmafysiken och studerar vågor i ett plasma (elektriskt laddad gas) innesluten i ett torusformat magnetfält, som t ex i fusionsreaktorer. Den gemensamma utmaningen är att i alla tre fallen stöter beräkningarna på problem med så kallade små nämnare (eller divisorer), som förstör möjligheten att använda gängse metoder från den ickelinjära analysen. 

Ett sätt att närma sig problemet med de små divisorerna är att använda sig av KAM-teorin, döpt efter dess upphovsmän Kolmogorov, Arnold och Moser, som under 1960-talet utvecklade tekniker för att hantera problemet med små divisorer. Ursprungligen skulle teorin behandla det berömda n-kroppsproblemet inom celestmekanik och hitta svaret på frågan huruvida ett system med tre eller fler himlakroppar, som inverkar på varandra genom gravitation, är stabilt. KAM-teorin förser forskarna med metoder att kontrollera de små divisorerna som hotar att förstöra beräkningarna. Med hjälp av KAM-teorin ska Dag Nilsson visa i sitt projekt att det går att lösa flödesekvationerna.