Symmetrier för studier av kaos

Dr Danijela Damjanović får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Institutionen för matematik, KTH i Stockholm.

Teorin om dynamiska system har djupa rötter i fysik och biologi. Närhelst det finns en process som utvecklas över tiden (såsom sjukdomsspridning, väder, planetrörelser), är det potentiellt möjligt att skapa en matematisk modell av processen. Huvudaspekten i det föreslagna projektet är att utföra kvalitativa studier av dynamiska system genom att skifta fokus till systemets symmetrier, som är de transformationer som bevarar systemets väsentliga egenskaper. Symmetrier är grundläggande för vår förståelse av naturen och förekommer i hela vetenskapen (till exempel i form av bevarandelagar inom fysiken).

I det föreslagna projektet kommer symmetrier att användas för kvalitativ studie och klassificering av kaotiska dynamiska system. Kaotiskt beteende observerades först för drygt ett sekel sedan, av Henri Poincaré, i hans berömda behandling av trekroppsproblemet och senare av Edward Lorenz när han modellerade väder. Det utvecklades systematiskt av Anosov som också fann att mycket kaotiska system är stabila: deras intrikata topologiska struktur finns kvar när systemet ändras lite. Dessutom visar det sig att förekomsten av många symmetrier för ett mycket kaotiskt system inte tillåter att systemet ändras lite samtidigt som symmetrierna bibehålls, om det inte är dynamiskt detsamma efter förändringen. För mycket kaotiska system tillåter förekomsten av många olika symmetrier till och med att systemet kan modelleras av ett mycket enklare algebraiskt system.

Inom projektet planeras en omfattande studie av kaotiska dynamiska system med många symmetrier. Huvudmålet är att koppla den algebraiska informationen som kommer från gruppen av symmetrier till systemets dynamiska egenskaper. Syftet är att visa att även milt kaotiska system (som vanligtvis inte ens är stabila), i närvaro av många symmetrier, till och med kan vara rigida: det finns homogena strukturer som gör dynamiken till en algebraisk modell. Det föreslagna projektet utforskar rigiditet för system med olika nivåer av kaotiskt beteende, såväl som med olika algebraisk smak av symmetrigrupper (abelsk, enkel, lösbar).