En stor utmaning i komplex geometri

Professor David Witt Nyström får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Institutionen för matematiska vetenskaper, Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet.

En central frågeställning inom geometri är att förstå när ett geometriskt objekt kan ges en optimal form. Det dröjde fram till år 1907 då Paul Koebe och Henri Poincaré nästan samtidigt bevisade att tvådimensionella ytor alltid kan deformeras till en form med konstant krökning.

Utvecklingen fram till beviset för denna så kallade likformighetssats skedde under hela 1800-talet parallellt med framväxten av den moderna algebraiska geometrin, födelsen av den komplexa analysen och topologin.

Ännu fler nya verktyg krävdes för att år 2003 föra i bevis en tredimensionell motsvarighet till likformighetssatsen – Thurstons geometriseringsförmodan.

Även inom den komplexa geometrin, ämnet för det aktuella projektet, ställs frågan om när objekten kan ges en optimal form. Här definieras de geometriska objekten med hjälp av komplexa tal och frågan om likformigheten, känd som Yau-Tian-Donaldsons förmodan, är ett av de största olösta problemen inom den komplexa geometrin. 

Ett lovande sätt att närma sig lösningen är att använda metoder från icke-arkimedisk geometri där de välbekanta reella och komplexa talen bytts ut mot abstrakta objekt, så kallade icke-arkimediska kroppar. Metoderna har visat sig lyckosamma för ett viktigt specialfall, men mycket återstår att göra, däribland att visa att den icke-arkimediska Monge-Ampère-ekvationen är lösbar.

Projektets syfte är att bevisa ekvationens lösbarhet, och därmed komma ett steg närmare beviset för Yau-Tian-Donaldsons förmodan.