Nya bidrag till Langlandsprogrammet

Douglas Molin som ska disputera i matematik vid Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 2026, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor James Newton vid Oxford University, Storbritannien. 

Den planerade forskningen utgör en del av ett av matematikens mest omfattande och inflytelserika projekt. Dess ursprung finns i ett brev från 1967, där den kanadensiske matematikern Robert Langlands formulerade en väv av djupa och långtgående förmodanden. Dessa knöt samman till synes skilda områden inom matematiken, såsom algebra, geometri, harmonisk analys och talteori, och har sedan dess kallats Langlandsprogrammet.

Ett avgörande genombrott inom detta program kom i samband med beviset av en berömd förmodan från 1600-talet, formulerad av den franske matematikern Pierre de Fermat. Han hävdade att ekvationen xⁿ+yⁿ=zⁿ saknar positiva heltalslösningar för n större än 2, utan att ge något bevis. Det dröjde över 350 år innan Andrew Wiles, med avgörande bidrag av sin tidigare doktorand Richard Taylor, lyckades bevisa Fermats sats. Beviset byggde på en djup koppling mellan elliptiska kurvor inom algebraisk geometri och modulära former inom komplex analys – två objekt vars symmetrier spelar en central roll för beviset.

En naturlig fortsättning är att försöka förena dessa två typer av symmetrier för mer allmänna objekt inom geometri och analys. På den ena sidan studeras aritmetiska symmetrier genom så kallade Galoisrepresentationer, algebraiska strukturer uppkallade efter den franske 1800-talsmatematikern Évariste Galois. På den andra sidan generaliseras modulära former till automorfa former – analytiska funktioner med intrikata, nästan kalejdoskopiska symmetriegenskaper. 

Många matematiker har arbetat med dessa generaliseringar av Wiles resultat. Forskningen i det planerade projektet behandlar mer svårbegripliga generaliseringar, där metoder från homotopiteori har visat sig vara användbara. Målet är att, i Langlandsprogrammets anda, etablera nya samband i situationer som ligger långt bortom den klassiska kopplingen mellan elliptiska kurvor och modulära former.

Foto: Setta Aspström