Fysiker beskriver framgångsrikt naturens minsta beståndsdelar – elementarpartiklar och krafter som verkar mellan dem – med hjälp av den så kallade standardmodellen. Modellen utvecklades på 1970-talet och bygger på kvantfältteori, en kvantmekanisk teori som beskriver fält.

Förutom i vissa specialfall saknas emellertid exakta matematiska beskrivningar av de slumpmässigt fluktuerande fält som förekommer i kvantfältteorierna. Därför innehåller standardmodellen en del förenklade beräkningar.

– Trots det funkar standardmodellen utmärkt. Men man saknar fortfarande en bra matematisk förståelse, vilket behövs för att i framtiden ha goda möjligheter att utveckla ny fysik och matematik, säger Fredrik Viklund som är professor i matematik vid KTH.

Med sitt förlängda anslag som Wallenberg Academy Fellow siktar han nu bland annat på att utveckla matematik som precist kan beskriva kvantfältteorins slumpmässigt fluktuerade fält.

– Jag inspireras av problem inom fysiken, men min forskning är nyfikenhetsdriven utan specifika tillämpningar i åtanke. Men det finns många exempel genom historien där tidigare grundforskning längre fram lett till stora genombrott.

Till exempel blev matematikens differentialgeometri ett avgörande verktyg för Einstein när han skapade sin berömda relativitetsteori – ett av den moderna vetenskapens fundament.

Krymper rutnätets maskor

Fredrik Viklund och hans medarbetare angriper kvantfältteorins fluktuerande fält genom att studera en förenklad modell där fältet är definierat enbart i skärningspunkterna i ett fyrdimensionellt rutnät, en så kallad gittermodell. Det ger en approximation, men i gengäld har en sådan modell en exakt matematisk beskrivning och kan analyseras med hjälp av sannolikhetsteori.

På sikt vill de sedan förfina approximationen genom att på matematisk väg göra rutnätet alltmer finmaskigt, så att avståndet mellan skärningspunkterna till slut försvinner helt. Målet är då att landa i en precis matematisk konstruktion och förståelse av de fluktuerande fält som används inom fysiken.

Angreppssättet har Fredrik Viklund med sig från sin första period som Wallenberg Academy Fellow då han framför allt arbetade med geometriska kurvor som uppstår ur slumpmässiga mönster, så kallade SLE-kurvor (efter engelskans Schramm-Loewner evolution).

– Då arbetade vi i två dimensioner. Nu blir det mer komplicerat med fyra dimensioner: tre rumsdimensioner plus tiden som en fjärde dimension.

Att projektet är utmanande är inget som avskräcker Fredrik Viklund, snarare driver det honom.

– Matematikforskning är jättesvårt hela tiden, och man kan aldrig på förhand riktigt veta om det man tänkt genomföra kommer att fungera. Det gör det väldigt tillfredsställande när man lyckas med något.

“Stödet från Stiftelsen ger mig möjlighet att fokusera på svåra och spännande problem, och anställa fler doktorander och postdoks som kan hjälpa till att ta forskningen framåt. Kontakten med Academy Fellows inom andra områden är också väldigt berikande.”

Kopplar samman olika världar

Forskningen om SLE-kurvor har även lett honom vidare på ett annat spår. I samarbete med en forskare vid Massachusetts Institute of Technology i USA utforskar han de matematiska kopplingarna mellan SLE-kurvornas slumpmässiga värld och en deterministisk värld, utan inslag av slump, med en annan typ av kurvor, så kallade Weil-Petersson-kurvor.

– Det är väldigt spännande och intressant att koppla ihop de två områdena för de innehåller så olika matematiska strukturer, tekniker och idéer. Med avstamp i den slumpmässiga världen får vi med oss nya perspektiv och nya sätt att tänka till den deterministiska världen, vilket gjort att vi hittat helt nya matematiska strukturer.

Enligt Fredrik Viklund sker många av de mest spännande utvecklingarna inom matematiken när forskare hittar en ny, oväntad länk mellan två områden som tidigare varit helt åtskilda.

– Det är som att få en telefonlinje till en ny kontinent. Plötsligt kan man ringa dit och utbyta idéer och erfarenheter.

Kraftfull och estetiskt tilltalande

Intresset för matematik har han haft med sig sedan skolåldern. Efter gymnasiet läste han en civilingenjörsutbildning i datateknik på KTH, men tog enstaka kurser i matematik parallellt. När det var dags för examensarbete föll valet på matematik och SLE-kurvor.

– Då var området nytt och lite risky. Det verkade spännande och passade mitt geometriska sätt att tänka i bilder och former.

Därefter har det blivit matematikforskning för hela slanten, bland annat några år som postdoktor i New York och lektor i Uppsala innan han återvände till KTH.

– Matematiken fascinerar mig. Den är väldigt kraftfull och ger oss verktyg för att tänka och prata om annars ofattbara begrepp, till exempel oändligheten.

För Fredrik Viklund spelar även matematikens estetiska komponent en viktig roll, även om den kan vara utmanande att dela med folk som inte är matematiker.

– Det är lite som att se det vackra i ett abstrakt konstverk eller i en litterär stil. Inom matematik handlar de estetiska kvaliteterna om elegansen i argumenten och i den logiska följden – att hitta rätt formulering för det svåra som man vill förmedla.

Text Ingela Roos
Bild Magnus Bergström