Ny matematisk teori ger svar på svårlösta problem

Petter Brändén forskar inom kombinatorik och geometrin för polynom. Nu filar han vidare på en framgångsrik teori som förenar gemensamma matematiska fenomen i algebra, datalogi, statistisk mekanik och kombinatorik. Teorin har gett lösningar på svårlösta problem och förhoppningen är att kunna lösa fler i framtiden.

Petter Brändén

Professor i diskret matematik

Wallenberg Academy Fellow 2013   

Lärosäte:
KTH

Forskningsområde:
Algebraisk kombinatorik och nollställedistribution för polynom.

Matematik är av traditionen en ensamvargdisciplin, säger Petter Brändén.

– Men det är såklart en stor fördel om man kan hitta forskare som har kompletterande kompetenser att bolla idéer och samarbeta med. I mitt fall kan det vara doktorander eller postdoktorer i min forskargrupp eller kollegor vid andra universitet.

När allt stämmer kan det leda till att efterlängtade polletter plötsligt ramlar ner. Så var det i Petter Brändéns mycket framgångsrika samarbete med den amerikanske matematikforskaren June Huh, verksam vid Princeton University. Genom att slå sina kloka huvuden ihop har de lyckats klura ut lösningar på svårlösta så kallade öppna matematikproblem inom området kombinatorik.

– Vi lyckades tillsammans lösa ett problem som funnits sedan 1970-talet, något som heter Masons förmodan inom matroidteori. Ett väldigt lyckat projekt och vårt arbete har blivit uppmärksammat över hela världen. Arbetet har även lett till en verktygslåda som kan användas för att lösa liknande problem i framtiden. Jag samarbetar nu med flera forskare för att utveckla verktygen ännu mer. Det är just nu ett hett område inom matematiken där jag är en av pionjärerna.

Ända sedan doktorandtiden har Petter Brändén intresserat sig för samband mellan kombinatoriska strukturer och polynoms nollställen, det vill säga där funktionens värde är noll (se faktaruta). Genom åren har han utvecklat en rad nya teorier som kan lösa centrala problem inom kombinatorik, datalogi, sannolikhetslära och statistisk mekanik.

– I mycket av matematiken ser man på kurvor och funktioner som är kontinuerliga. Men i kombinatorik tittar vi på ändliga strukturer. Till exempel hur många sätt jag kan utföra en uppgift på. Mycket av spelteorin är också kombinatorik. Man studerar en ändlig struktur med ett antal komponenter och hur de samverkar med varandra.

Polynom ur två perspektiv

Från en synvinkel är polynom lite förenklat ett bokföringsredskap, förklarar Petter Brändén.

– Om man har en massa data som samlats in så vill man ofta bokföra den på något sätt och det görs ofta i polynom. De studeras traditionellt i algebran, ett av de äldsta områdena inom matematiken. I algebran studeras ofta nollställen i polynom och mycket av min forskning har gått ut på att se vad nollställen till polynom som förekommer inom kombinatoriken kan säga om den kombinatoriska strukturen, och tvärtom.

Petter Brändén utforskar bland annat beroende. Till exempel kan ekvationer, eller händelser inom sannolikhetslära, vara beroende av varandra.

– Motsatsen är att variabler eller vektorer är oberoende av varandra. De metoder jag har arbetat med kan vara väldigt användbara för att visa på just beroende och oberoende.

Ovan nämnda matroidteori är just en teori för kombinatorisk beroende, berättar Petter Brändén.

– Det är en teori som utvecklades på 1930-talet fram till 70-talet. Den studerades intensivt på 60- och 70-talet och det var många öppna frågor som dök upp då. Fram till 2010 var det ingen som hade löst dem, men då lyckades June Huh med avancerade metoder från algebran besvara några av de här öppna frågorna. Vi kommer från olika angreppssätt men lyckades förena våra metoder för att skapa en ny teori och verktygslåda som vi kunde använda för att lösa ytterligare problem.

Att deras teori, som kallas Lorentziska polynom, blivit så uppmärksammad beror enligt Petter Brändén framför allt på att den förenar matematik från olika vetenskapliga discipliner under ett och samma tak.

– Den för samman olika fenomen som visade sig ha samma grundläggande egenskaper. Det kan vara problem inom geometri, algebra, statistisk mekanik och kombinatorik som har en gemensam nämnare, Lorentziska polynom.

Med stöd av Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse jobbar Petter Brändén vidare med teorin.

– Det finns vissa problem inom exempelvis matroidteori som man inte kan angripa med de metoder som vi hittills har utvecklat. Men nu har jag stora förhoppningar om att det ska gå ändå, genom att vidareutveckla teorin.

”Matematikforskare har ofta mycket undervisning, men tack vare anslaget kan jag dra ner på min undervisningstid. Det gör att jag kan fokusera bättre och forska mer intensivt på svåra problem.”

Gillar både problem och teori

Som senior forskare ser Petter Brändén lite annorlunda på sin forskning nu än när han först startade på KTH.

­– Ja, man blir ju mer vis och jag har skaffat mig en hel del kunskap på vägen, ett ”bibliotek” som jag kan använda för att se analogier i för att lösa nya problem. Man brukar säga att matematiker är antingen teoribildare eller problemlösare, men jag hoppas att jag numera är både och.

Petter Brändéns arbetsredskap består i första hand av papper och penna, gärna en reservoarpenna med bra flyt. Den kreativa processen kan se olika ut, konstaterar han. Ibland tar det lång tid innan lösningar uppenbarar sig, i andra fall går det snabbt.

– Just i fallet med de Lorentziska polynomen var det så att när jag och June väl började diskutera det, så föll polletten ner ganska snabbt. Inom bara några månader hade vi en användbar teori.

Text Susanne Rosén
Bild Anna Pun Ying,  Cordian Riener, Jann Lipka, Magnus Bergström

 

Faktaruta: Vad är ett polynom?

En polynomekvation är ett matematiskt uttryck som består av en eller flera variabler, till exempel x, y, z, och konstanter som har kombinerats enbart genom de tre räknesätten addition, subtraktion och multiplikation.

I ett polynom får de variabler som ingår endast ha positiva heltalsexponenter.

Beroende på hur ett polynom ser ut, kan man använda sig av antingen en grafisk metod för att hitta polynomfunktionens nollställen eller så kan man använda sig av en algebraisk metod där man letar efter polynomekvationens rötter. Ofta använder man sig av en kombination av metoder.

Källa: matteboken.se