Nya diskreta former för kontinuerliga objekt

Gabriele Balletti som disputerade i matematik vid Stockholms universitet 2018, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Francisco Santos vid Freie Universität of Berlin, Tyskland.

Målet med projektet är att få nya insikter om kontinuerliga objekt, som kurvor och ytor, genom att använda metoder från diskret matematik. Det innebär att kontinuerliga objekt behöver beskrivas som sammansatta av distinkta beståndsdelar vilket i sin tur gör frågeställningarna lämpliga för datorbehandling.

En särskild sorts ytor som uppmärksammas i matematiken är toriska varieteter. De har en mängd tillämpningar inom områden som teoretisk fysik, kodningsteori, algebraisk statistik och geometrisk modellering, och de utgör en meningsfull testplats för allmänna teorier.

Även om toriska varieteter är kontinuerliga objekt, kan de förknippas med diskreta objekt som bär all information om dem. Dessa diskreta objekt är geometriska figurer som kallas polytoper, och som är flerdimensionella släktingar till de mer kända månghörningarna, till exempel tvådimensionella trianglar och kvadrater, eller tredimensionella med pyramider och kuber.

En polytop är som ett ID-kort för den toriska varieteten den representerar: mängder av data som inte är direkt tillgängliga genom att enbart titta på den toriska varieteten, kan enkelt utläsas från dess ID-polytop. Dessutom kan polytoper obesvärat hanteras av datorer. Därmed kan nu många obesvarade frågor kring toriska varieteter besvaras med hjälp av datorstödda beräkningsmetoder.