Ny matematik håller reda på slumpen

Gernot Akemann är för närvarande professor vid Bielefeld University, Tyskland. Han kommer, tack vare anslaget från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, att vara gästprofessor vid Institutionen för matematik, KTH, Stockholm.

Syftet med projektet är att skapa och analysera nya metoder för att studera egenskaper hos slumpmatriser. Teorin för slumpmatriser har under de senaste åren genomgått en mycket stark utveckling och blivit ett centralt verktyg inom både matematik och fysik.

Till exempel studeras ofta kaotiska dynamiska system med hjälp av slumpmatriser. Det är system där små förändringar i begynnelsen kan ge stora och på sikt oförutsägbara skillnader i förloppet. Vartåt strävar systemet, och hur snabbt går det?

Svaret ligger hos de till slumpmatriserna hörande egenvärdena. Ett sätt att ta sig an frågan, som visat sig framgångsrikt, men som ännu inte är fullt utforskat, är att multiplicera en särskild sorts matriser med varandra. Produkten blir då en ny slumpmatris med nya egenvärden vilkas fördelning kan utforskas.

De senaste resultaten visar att dessa egenvärden beskrivs av så kallade determinantprocesser, vilka i sin tur ofta ges av vissa, ofta komplicerade, speciella funktioner. Studier av determinantprocesserna ger följaktligen upphov till olika frågor kring speciella funktioner och deras egenskaper då storleken på matrisen, eller antalet faktorer i produkten, går mot oändligheten. En fråga av särskilt intresse i detta projekt är vad som händer med egenvärdena när både antalet faktorer i produkten och storleken på matrisen växer mot oändligheten samtidigt.

Gästprofessorn Gernot Akemann är en matematiskt orienterad teoretisk fysiker som på senare år väsentligt bidragit till utvecklingen av teorin för produktensembler. Han kan därför bidra till att öka förståelsen för den matematiska strukturen hos de nya modellerna.