Matematik bakom tygsnåla hattar och begränsade avbildningar

Professor Henrik Shahgholian får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Institutionen för matematik vid KTH, Stockholm.

Ett av de klassiska problemen inom geometrisk analys är studiet av avbildningar mellan geometriska objekt som måste uppfylla givna restriktioner. Ett populärt exempel är problemet att använda så lite tyg som möjligt för att designa en fashionabel hatt. Sådana problem uppstår naturligt i sammanhang där former optimeras under begränsningar och har studerats i olika skepnader sedan antiken, då arkitekter och ingenjörer utvecklade metoder för att minimera materialåtgången för byggen av stabila strukturer, såsom bågar och kupoler.

Besläktade tankegångar återfinns i nära hundra år gamla arbeten av den skotske biologen Sir D’Arcy Thompson, som studerade i vilken utsträckning skillnader i formen hos närbesläktade djur kunde förstås som resultat av relativt enkla matematiska transformationer. Hans idéer om naturens inneboende matematiska struktur kom att inspirera en bred krets av forskare och formgivare inom såväl naturvetenskap som konst och arkitektur.

Trots ett långvarigt intresse återstår många grundläggande frågor kring den matematiska strukturen hos avbildningar med begränsningar. 

I det planerade projektet studeras deras jämnhet och geometriska egenskaper, med särskilt fokus på hur deformationer påverkar egenskaperna hos de avbildade objekten. En central fråga är huruvida deformationen nödvändigtvis ger upphov till störningar i materialet. Till exempel kräver en avbildning som omformar en boll till en ring att bollen slits upp, vilket leder till avbrott, eller singulariteter. Ett av projektets mål är att identifiera villkor som utesluter uppkomsten av sådana singulariteter och, när de ändå förekommer, att beskriva deras struktur och hur avbildningen beter sig i deras närhet.