En närmare inblick i heltalens sekelgamla gåtor

Igor Shparlinski är för närvarande professor vid Department of Pure Mathematics, University of New South Wales, Australien. Han kommer, tack vare anslaget från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, vara gästprofessor vid Institutionen för Matematik, KTH i Stockholm.

Det planerade projektet rör frågor inom talteorin, en av matematikens äldsta grenar där heltal studeras.  Under de senaste decennierna har området vidgats och förutom för ren matematik har det blivit av fundamental betydelse för kryptografi, och visat sig ha en mängd kopplingar till modern fysik.

Ett centralt problem inom den analytiska talteorin är den berömda Riemanns förmodan från 1859. Den handlar om fördelningen av primtal bland naturliga heltal. Primtal är sådana heltal som bara går att dela med 1 och sig själva. De första primtalen – 2, 3, 5, 7, 11, 13, och flera – ligger nära varandra, men ju högre upp desto längre blir det genomsnittliga avståndet mellan primtalen. Hur många primtal finns det då inom ett givet utsnitt av heltalslinjen? 

För att besvara denna fråga utvecklade Riemann en “magisk funktion” (numera kallad Riemanns zeta-funktion). Genom att lära känna alla – de är oändligt många – nollställena till zetafunktionen skulle frågan om förekomsten av primtalen bland alla heltal kunna besvaras. Riemanns förmodan är att i princip alla dessa nollställen ligger på en viss lodrät linje i det komplexa talplanet. Ingen vet ännu om denna förmodan är sann eller inte. En belöning på 1 miljon dollar väntar den som kan avgöra frågan.

Ett viktigt steg mot att närma sig svaret är att utforska de så kallade Weylsummorna, vilket också är ämnet för det planerade arbetet. Sedan den tyske matematikern Hermann Weyl införde summorna 1916 har de tillämpats i många olika områden av talteorin. Avsikten med projektet är att utöka tillämpningarna bortom talteorin till redan tidigare studerade analytiska modeller av kvantkaos.