Nya verktyg för att fånga de bångstyriga

Jakob Hultgren som disputerade i matematik vid Chalmers tekniska högskola 2018, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Yanir A. Rubinstein vid University of Maryland College Park, Maryland, USA.

Inom den komplexa geometrin studeras många geometriska objekt, som kurvor och krökta ytor, som har visat sig viktiga i den teoretiska fysiken, till exempel i kvantmekanik och i strängteori. Vanligtvis uppstår de geometriska objekten som lösningsmängden till ett antal algebraiska ekvationer. Men objekten kan se ut lite hur som helst och ofta kan vad som i grunden är samma objekt ha många olika skepnader.

Det här projektet går ut på att hitta sätt att deformera dessa objekt så de får ett mer uniformt utseende. Det kan göras på två olika sätt: antingen ser man det som att man deformerar det geometriska objektet, eller så ser man det som att man deformerar den måttstock som används för att mäta avstånd på objektet. De speciella måttstockar som behöver skapas för den här typen av deformationer kallas kanoniska metriker.

Ofta går det inte att genomföra de önskade deformationerna, det vill säga det existerar inga kanoniska metriker med rätta egenskaper. Till exempel går det inte att platta ut ett apelsinskal utan att vika eller riva sönder det; skalet har fel topologi för en platt metrik, istället krävs en kanonisk metrik som är positivt krökt. Men ofta går inte det heller, det är något djupare problem som hindrar processen.

De problematiska objekten misstänktes skapa oreda även i den algebraiska geometrins modulirum. Ett modulirum är ett sätt att organisera en stor mängd geometriska objekt genom att tilldela var och ett en punkt i rummet. Men vissa objekt passar inte in, de kallas instabila, och måste avlägsnas för att det ska gå att bilda modulirummet.

Att det faktiskt var samma besvärliga objekt som också saknade kanonisk metrik kunde bevisas först 2013, men bara för en typ av kanoniska metriker som kallas Kähler-Einsteinmetriker. Syftet med projektet är att utveckla nya kanoniska metriker som går att tillämpa bredare än Kähler-Einsteinmetriker, och försöka förstå kopplingarna mellan de nya metrikerna och de instabila geometriska objekten.