Att söka grunder för tropisk geometri

Johannes Rau är professor vid Universidad de los Andes, Colombia. Han kommer, tack vare anslaget från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, att vara gästprofessor vid Avdelningen för matematik, Högskolan i Gävle.

Projektet handlar om tropisk geometri som är en förenklad version av algebraisk geometri där sambandet mellan former och ekvationer utforskas. Medan den algebraiska geometrin har sina rötter hos de gamla grekerna, är den tropiska geometrin bara ett halvt sekel gammalt. Men den har redan bidragit till att en del tidigare olösta problem inom algebraisk geometri kunnat lösas då de översatts till tropisk geometri.

Översättningsverktyget kallas tropikalisering. Med det omvandlas klassiska geometriska objekt till tropiska. Tropiska objekt ska fånga de viktigaste egenskaperna hos sina klassiska motsvarigheter och bortse från de ovidkommande. På så sätt förenklas det ursprungliga problemet. Till exempel är en tropisk kurva aldrig krökt. Tropikaliseringen sträcker ut kurvan så den snarare ser ut som ett tändsticksnät.

Trots att tropikalisering är centralt för den tropiska geometrin saknar den fortfarande fullständiga teoretiska grunder. Det långsiktiga målet med projektet är att finna en teori för förhållandet mellan algebraisk och tropisk geometri.

Projektet fokuserar på tropiska kompaktifieringar av modulirum. Ett modulirum är ett slags katalog av geometriska objekt av en viss typ, där liknande objekt är nära varandra. Tropiska kompaktifieringar byggs upp av algebraiska och tropiska modulirum där tropikaliseringen bestämmer vilken tropisk form som får vara nära en viss algebraisk form. Tropiska kompaktifieringar ser till att en lösning av det tropiska problemet leder till en lösning av det ursprungliga algebraiska problemet. De är därför av stort intresse för den algebraiska geometrin.