Stratifieringar av modulirum av kurvor i positiv karakteristik

Docent Jonas Bergström får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Matematiska institutionen vid Stockholms universitet.

Detta projekt handlar om egenskaper hos kurvor. Kurvor är bland de äldsta objekten i matematik, och de har studerats ända sedan antikens Grekland och de är fortfarande en av de viktigaste objekten inom området algebraisk geometri. En central fråga inom algebraisk geometri är att klassificera kurvor. Det vill säga att försöka svara på vilka typer av kurvor som finns. För att svara på denna fråga har matematiker ofta introducerat olika typer av invarianter. Dessa kan ses som fingeravtryck med vilka man kan särskilja kurvor även när de ser likadana ut.

När vi tänker på kurvor rent geometriskt så gör vi det över de reella (eller komplexa) talen, men i detta projekt kommer forkarna att betrakta dem i den märkligare världen av positiv karakteristik, där en multipel av talet 1 är lika med 0. Anledningen till att forskarna vänder sig till positiv karakteristik är att det i detta fall finns djupa och viktiga invarianter av kurvor som inte existerar över de reella och komplexa talen. För att göra dessa invarianter i positiva karakteristik synliga måste man betrakta kurvans Jakobian. Jakobianen är en abelsk varietet, som är ett högre dimensionellt rum med den mycket speciella egenskapen att dess punkter kan adderas (och de bildar en grupp).

Mycket är känt kring egenskaperna hos våra invarianter om vi betraktar mängden av alla abelska varieteter. Men om vi istället begränsar oss till endast Jakobianer av kurvor så är dessa egenskaper mycket mer mystiska och outforskade. Målet med detta projekt är att kasta nytt ljus över dessa frågor.

Foto: Sara Despres