Slumpmatriser avslöjar universella drag

Jonathan Breuer är professor vid Hebrew University of Jerusalem, Israel. Han kommer, tack vare anslaget från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, vara gästprofessor vid Institutionen för matematik, KTH i Stockholm.

I till synes helt olika komplexa system, både inom matematiken och fysiken, går det att finna gemensamma mönster. Sådana mönster sägs vara universella – de beror inte på några exakta detaljer utan enbart på systemets allmänna egenskaper. För att finna sådana universella egenskaper används bland annat teorin för slumpmatriser. Slumpmatriserna beskriver stora komplexa system där det ofta inte är möjligt att exakt bestämma värdena för alla element i matrisen vilka då ersätts med slumpvariabler. 

Till varje matris kan beräknas dess karakteristiska tal, egenvärden. När elementen i matrisen är slumpmässiga, blir även egenvärdena slumpmässiga. Egenvärdena är avgörande i många olika tillämpningar, till exempel i statistiska analyser av stora datamängder. De bestämmer även energinivåerna för atomer och molekyler i kvantfysiken, så kallade spektra. Slumpmatriser dyker då upp när man vill förstå komplicerade spektra.