Bortom klassisk gruppteori

Jorge Fariña-Asategui som ska disputera i matematik vid Lunds universitet 2026, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Tatiana Smirnova-Nagnibeda vid Université de Genève, Schweiz. 

Gruppteorin, som är det övergripande ämnet för projektet, uppstod i början av 1800-talet ur studier av symmetrier hos lösningar till polynomekvationer. Dessa symmetrier kan beskrivas med abstrakta objekt som kallas grupper, och förståelsen av Galoisgrupper är central för att förstå strukturen hos polynomrötter och ekvationers lösbarhet. Senare utvecklades gruppteorin till en mer abstrakt utforskning av symmetrier som beskriver allt från fysikens naturlagar till kryptografi.

En av de klassiska frågorna inom gruppteorin är om det är möjligt att konstruera en oändlig grupp utifrån ett ändligt antal ändliga symmetrier. För det allmänna problemet är svaret ja, och de flesta exemplen är så kallade grengrupper. Grengrupper uppstår som symmetrier av oändliga träd, till exempel ett binärt träd som förgrenar sig parvis: det består av en nod med två ättlingar, och varje ättling har i sin tur två ättlingar, och så vidare.

Grengrupper är fraktala objekt, eftersom de innehåller mindre kopior av sig själva. Fraktaler förekommer överallt i naturen: från växter och kristaller till kroppens blodkärl och nervceller. Fraktal är även den slumpmässiga rörelsen hos små partiklar i vätska eller gas. Sådana slumpvandringar, och mer generellt dynamiska system – matematiska modeller av hur ett system utvecklas över tid – har numera ett brett spektrum av tillämpningar inom matematisk fysik, medicin, ekonomi och biologi.

Forskningsprojektet syftar till att ge en bättre beskrivning av den underliggande strukturen hos grengrupper, i synnerhet deras fraktala egenskaper. Vidare är målet att finna kopplingar mellan grengrupper, slumpvandringar och dynamiska system, vilket kan visa på nya tillämpningar av gruppteorin inom matematiken.

Foto: Joakim Cronvall