Problem från antiken får nya lösningar

Dr Julia Brandes får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Institutionen för matematiska vetenskaper, Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet.

Går det att avgöra om en given polynomekvation i flera variabler har heltalslösningar? Hur många sådana lösningar finns det? Frågorna ställdes redan under antiken av den grekiske matematikern Diofantos från Alexandria. Sedan dess har diofantiska ekvationer studerats av en rad berömda matematiker och några av matematikens viktigaste områden har sprungit ur försöken att lösa dem.

I de fall det finns oändligt många lösningar utvecklades för snart hundra år sedan en metod, kallad cirkelmetoden, där man använder harmonisk analys för att uppskatta hur pass tätt dessa lösningar ligger. Den har de senaste tio åren förfinats till att uppskatta antalet heltalslösningar till vissa ekvationssystem med mycket större exakthet än vad som tidigare har varit möjligt. Medan metoden tidigare bara fungerade väl för polynom av låg grad så åstadkommer den nu mycket precisa uppskattningar även för vissa klasser av polynom av valfri grad.

Julia Brandes planerar i sitt projekt att utnyttja den förbättrade precisionen av cirkelmetoden till att studera antalet heltalslösningar som uppfyller vissa extra villkor. Två fall är därvid av särskilt intresse. Dels gäller det sådana ekvationssystem där variablerna ligger i vitt skilda områden – några variabler är stora medan andra är små. Dels handlar projektet om ekvationer där lösningarna är speciella tal som, om man skriver dem i ett talsystem med en viss primtalbas p, saknar vissa siffror. Sådana tal är av intresse därför att de har en märklig men regelbunden fraktal struktur. Genom att utnyttja denna speciella struktur förväntar man sig att kunna förutsäga hur många sådana lösningar det finns.