Att ordna och sortera algebraiska strukturer

Lisa Nicklasson, som ska disputera i matematik vid Stockholms universitet 2020, har erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Aldo Conca vid Università di Genova, Genua, Italien.

Den moderna abstrakta algebran utvecklades i början av förra seklet i försöken att skapa en mer generell teori för matematiken. Därmed bytte algebra skepnad från att vara en teori om ekvationer till att bli en teori om algebraiska strukturer. Idag är teorin så omfattande att den har förgrenats i många olika områden. 

I Lisa Nicklassons projekt ingår flera undersökningar av objekt som kallas graderade algebror. En graderad algebra är en struktur vars element sorteras efter grad, till exempel kan x tilldelas grad 1, x2 grad 2, och så vidare. Denna algebra kan då delas upp i olika rum, där elementen av samma grad ingår i samma rum. Storleken av dessa rum bildar en talserie, en så kallad Hilbertserie. Hilbertserien kan användas som ett verktyg för att mäta storleken och tillväxten hos en graderad algebra.

En av frågeställningarna inom projektet är att ta reda på vilken struktur en viss typ av algebra ska ha för att göra talen i Hilbertserien så små som möjligt. En annan inriktning är att, istället för att begränsa algebrans storlek, införa egenskaper hos algebran som begränsar dess struktur. Ett exempel på en sådan begränsning är den så kallade Koszulegenskapen, som upptäcktes på 1970-talet. Sedan dess har flera delklasser av Koszulalgebror upptäckts. 

Att försöka beskriva exakt hur de olika klasserna av Koszulalgebror förhåller sig till varandra ingår också i projektet. Ett viktigt första steg till att besvara de olika frågeställningarna inom det undersökta området är att med hjälp av datorberäkningar utforska flera intressanta exempel på de graderade algebrorna

 Foto: Stefan Lagerstam