Geometri och fysik i intim förening

Lukas Nakamura som disputerade i matematik vid Uppsala universitet 2024, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Maxim Kontsevich, Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES), Bures-sur-Yvette, Frankrike.

När symplektisk geometri, ämnet för det aktuella projektet, skapades på 1800-talet fanns varken kvantmekanik eller Einsteins allmänna relativitetsteori och än mindre den moderna fysikens strängteori. Geometrin växte fram ur behovet att ersätta Newtons komplicerade differentialekvationer med enklare metoder att beskriva rörelse. För ett objekt som rör sig bestäms banan i varje stund av objektets läge och hastighet, alltså av ett par storheter som tillsammans bildar en tvådimensionell yta – den symplektiska geometrins grundstruktur. 

Den symplektiska geometrin upplever nu sin renässans alltsedan uppkomsten av den moderna fysiken. Under 1900-talet utformades två av fysikens grundpelare: kvantmekaniken, som ger en beskrivning av världsalltets minsta beståndsdelar, och Albert Einsteins allmänna relativitetsteori, som ger en beskrivning av hela världsalltet. 
Ansträngningar att förena dessa två pågår än, och en lovande teori för denna förening kallas strängteorin. Den bygger upp vår värld i 11 dimensioner i stället för Einsteins fyra, och dess minsta beståndsdelar är små strängar i stället för kvantpartiklar. 

I samspel med strängteorin och kvantfältteorin utvecklas den moderna symplektiska geometrin vidare. Numera tar den sig an inte bara tvådimensionella rum utan alla abstrakta rum med jämna dimensioner. Rummen med udda dimensioner behandlas av kontaktgeometri, en nära släkting till den symplektiska. Samspelet mellan dessa två geometrier och matematiska operationer inne i och mellan olika geometriska rum är ämnen för projektet. 

Foto: Uppsala universitet