Matematik på en högre abstraktionsnivå

Mateusz Stroinski som ska disputera i matematik vid Uppsala universitet 2025, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Christoph Schweigert, Universität Hamburg, Tyskland. 

Högre representationsteori har siktet inställt på att utvidga klassiska matematiska teorier genom att studera deras högre ordningens struktur. Ett sätt att förklara begreppet representationsteori är att utforska Rubiks kub. Idén är att det går att förstå allt om kuben genom att studera alla sätt att vrida på den, vilka tillsammans kallas för kubens symmetrigrupp. Själva kuben utgör en representation av denna grupp. 

Det var representationsteorins pionjärer, Issai Schur och Emmy Noether, som kring sekelskiftet 1900 insåg att många matematiska objekt kan studeras väldigt effektivt genom deras symmetrigrupper och representationer. Detta perspektiv lade grunden för utvecklingen av standardmodellen för partikelfysik, och har även varit fruktbart inom många andra områden, exempelvis teoretisk fysik, kemi, datavetenskap och programmering, förutom själva matematiken.

Ett annat sätt att tänka på Rubiks kub är att skapa en riktad graf vars noder är de olika färgläggningarna av kuben, och pilarna är vridningar mellan dem. Grafen och alla dess pilar bildar en kategori. Det kategoriteoretiska genombrottet kom i mitten av 1900-talet. Numera är kategoriteorin ett självständigt område som försöker abstrahera matematiska teorier  i termer av kategorier, oberoende av vad deras objekt och pilar representerar. Genom att formulera matematik på en mer abstrakt nivå kan man avslöja en gemensam struktur bakom flera delområden, som annars inte verkar relaterade. 

Syftet med projektet är att utveckla den högre representationsteorin vidare genom att generalisera klassiska representationsteoretiska begrepp, idéer och tekniker.  Samtidigt är ambitionen att utveckla tekniker för att lösa intressanta och viktiga problem för vissa kategorier inom representationsteori och matematisk fysik.