Slumpmässigheten hos bråk

Biträdande professor Michael Björklund får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Institutionen för matematiska vetenskaper, Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet.

Hela tallinjen består av reella tal, varav en del utgörs av rationella tal, sådana som kan skrivas som en kvot av två heltal. Men de flesta reella talen går inte att uttrycka på det sättet – de är irrationella. Till de mest kända irrationella talen hör talet π och kvadratroten ur två, √2. Hur de irrationella talen bäst ska approximeras med rationella tal har i sin enklaste form varit väl förstått sedan drygt hundra år tillbaka. Inom området diofantisk approximation, som projektet handlar om, söker man utröna hur väl en approximation kan göras med rationella tal för ett givet reellt tal. 

Ett sätt att närma sig frågan är att räkna antalet rationella tal som ger bra approximationer till ett givet reellt tal och vilkas nämnare ligger under en viss hög gräns. Det är känt sedan 1960-talet att för nästan alla reella tal växer deras antal mot oändligheten i en nästan exakt logaritmisk takt med den givna gränsen för nämnaren. Avvikelserna från denna takt uppfyller en viss form av den centrala gränsvärdesatsen, alltså en normalfördelning, vilket Michael Björklund nyligen har visat tillsammans med Alexander Gorodnik. 

Syftet med projektet är att i nästa steg gå bortom normalfördelningen. Utgångspunkten för att förstå avvikelserna från normalfördelningen är den redan välkända analysen av summor av oberoende slumpvariabler och deras centrala gränsvärdesatser. Nu är slumpvariablerna i det studerade fallet bara delvis oberoende, men analogin kan visa sig fruktbar och leda till bättre uppskattningar än de hittills kända.