Nytt sätt att jämföra geometriska objekt

Docent Alexander Berglund får anslag av Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Matematiska institutionen, Stockholms universitet.

Topologi är ett relativt nytt område inom matematik, men kan sägas ha sitt ursprung i den berömda gåtan om Königsbergs sju broar: var det möjligt att promenera genom staden utan att passera samma bro mer än en gång? Svaret, som var nej, kom redan 1736, och ledde till att ny matematik utvecklats sedan dess.

Topologins centrala studieobjekt är mångfalder, geometriska objekt som har tillämpningar inom fysik och andra naturvetenskaper, förutom ren matematik. Syftet med det nu planerade projektet är att tillämpa metoder från algebraisk topologi för att studera symmetrier hos mångfalder. Detta i sin tur leder till bättre sätt att klassificera mångfalder.

Klassificeringsproblemet har drivit utvecklingen av algebraisk topologi under det förra seklet. Det gällde att förstå vilka egenskaper som bibehålls hos mångfalderna när de deformeras utan att bli sönderslitna. Om en sådan deformation kan omvandla den ena mångfalden i den andra sägs mångfalderna tillhöra samma klass. På hur många olika sätt låter sig detta göras? Mångfaldernas symmetrier skulle kunna besvara den frågan.

Utmaningen är att studier av symmetrierna är mycket komplicerade till och med för vanliga ytor som är mångfalder i bara två dimensioner och mycket enkla att klassificera. Projektets syfte är att studera symmetrier hos mångfalder av högre dimensioner. En del har redan gjorts, fast då gällde resultaten bara en speciell klass av mångfalder. Det övergripande målet nu är att hitta metoder för att beskriva mer allmänna fall.