Grafer åskådliggör abstrakta former

Gleb Nenashev som ska disputera i matematik vid Stockholms universitet 2018, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Alexander Postnikov vid Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, USA.

Huvudämnet för det planerade projektet är triangulering. I sin enklaste form användes triangulering redan av de gamla egyptierna för att bestämma höjden på pyramiderna, och av antikens greker för att räkna ut (med förbluffande noggrannhet) jordens omkrets. Det blev en viktig metod som användes av lantmätare och kartografer ända fram till 1990-talet då den ersattes av GPS-systemet.

De trianguleringar som föreslås i det nu aktuella projektet är betydligt mer abstrakta. Det handlar om att triangulera objekt besläktade med flerdimensionella konvexa månghörningar. Problemets komplexitet ökar med dimensionerna och antalet hörn hos objektet. En platt, tvådimensionell rektangel har till exempel två trianguleringar medan en femhörning kan trianguleras på fem olika sätt. Än mer komplicerade objekt kan bestå av sammansatta geometriska månghörningar, till exempel en kvadrat och en triangel med en gemensam kant.

En grundtanke är att konstruera trianguleringar med metoder från grafteorin. En graf är en samling punkter, eller noder, med linjer som kan binda samman noderna. En graf där alla par av noder är sammanbundna med endast en stig kallas för ett “träd”. Sådana matematiska träd används ofta av dataloger och programmerare för att beskriva datalagring och dess algoritmer. Nu kommer grafteorins träd att användas till att lösa trianguleringsproblem, vilket är en av de nya idéerna bakom det föreslagna projektet.