Slumpvandringar i slumpmässiga omgivningar

Davit Karagulyan som disputerade i matematik vid KTH 2017, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Dmitry Dolgopyat vid Department of Mathematics, University of Maryland, College Park, USA.

Projektet behandlar frågor inom dynamiska system, ett matematikområde som till stor del kan beskrivas som deterministisk kaosteori. Där studeras processer som utvecklas i tid, till exempel vissa fysiska system.

En av de frågor som lade grunden för studier av dynamiska system var den celesta mekanikens trekropparsproblem. Det handlade om att beräkna banor på lång sikt för månen, jorden och solen. I slutet av 1800-talet visade Henri Poincaré att det inte fanns några generella lösningar till problemet, och att banorna inte behövde vara stabila. Idag handlar studier av dynamiska system ofta om många fler kroppar i rörelse under specifika villkor.

I en del av sitt projekt kommer Davit Karagulyan att ta sig an ett klassiskt problem som gäller slumpvandringar. Det handlar om att analysera de statistiska egenskaperna hos en bana av en laddad partikel som rör sig i ett slumpmässigt varierande elektriskt fält. Gäller till exempel de stora talens lag i det här fallet? Lagen säger ungefär att medelvärden av slumpmässiga händelser borde jämna ut sig i det långa loppet.

En annan del av projektet handlar om att undersöka statistiska egenskaper hos ett system där en partikel studsar elastiskt mellan två parallella väggar. En av väggarna rör sig slumpmässigt upp och ner. En fråga blir då ifall en sådan modell leder till att hastigheten hos en partikel kan bli hur stor som helst. Och i så fall, hur vanliga är banorna med sådana obegränsade hastigheter?