Sandhög som en modell för naturliga fenomen

Professor Henrik Shahgholian får anslag av Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Institutionen för matematik, KTH.

När ett sandslott torkar kan det ofta inte längre bära upp sin vikt, och det störtar samman. Sammanbrottet leder till en snabb omorganisation av alla sandkorn. I vår omgivning möter vi ofta fenomen av liknande karaktär, där ur kaos och obalans en ny struktur snabbt uppstår. När nyordning uppkommer spontant talar man om självorganisation.

Syftet med det planerade projektet är att studera matematiska problem kopplade till den dynamik som uppkommer vid kaos och som leder till omedelbar självorganisation. Ett exempel är fysikens fasövergångar – när en formlös materia plötsligt får struktur, som när vatten fryser till is; medan tillväxten av kristaller är ett exempel på kemisk självorganisation. Även tillväxten av bakteriekulturer inom biologin, organisk tillväxt av storstäder, eller att uppnå jämvikt på börsen, uppvisar liknande dynamiska egenskaper.

Av särskilt intresse för projektet är en matematisk modell som går under namnet ”sandhögsdynamik”, och som beskriver flera av de ovannämnda företeelserna som en partikelvandring i ett tvådimensionellt gitter. I en sandhög börjar enskilda sandkorn att vandra längs gittret enligt givna matematiska lagar, och man vill studera den slutliga konfiguration som uppkommer då partiklarna hittar ett nytt jämviktsläge. I modellen ökas antalet partiklar i ursprungskonfigurationen mot oändligheten, samtidigt som gittret övergår i ett homogent plan. En central fråga är huruvida en sådan gränskonfiguration finns, och ifall den gör det, om den då är identisk med gränskonfigurationen för motsvarande kontinuerliga modell.