Uddadimensionella rum får en ny beskrivning

Paolo Ghiggini är forskare vid Université de Nantes, Frankrike. Han kommer att vara gästprofessor vid Matematiska institutionen, Uppsala universitet.

Projektet behandlar problem inom symplektisk geometri som är ett relativt nytt forskningsområde inom matematiken med rötter i den klassiska mekaniken. De första fröna såddes redan för ett par hundra år sedan då Newtons rörelselagar för klassiska mekaniska system formulerades om först av Jean-Louis Lagrange och senare av William Rowan Hamilton. Det dröjde ända till slutet av 1900-talet då området fick sin renässans, inte minst tack vare dess närhet till utvecklingen inom den moderna fysikens sträng- och kvantfältteorier.

Den symplektiska geometrins studieobjekt är rum, eller mångfalder, vilka kan ses som en generalisering av den matematik som ursprungligen utvecklades för dynamiska system inom den klassiska mekaniken. Där skulle man beräkna banorna av himlakroppar i solsystemet eller för laddade partiklar i ett elektromagnetiskt fält, och liknande. Numera försöker man förstå hur geometrin av den symplektiska mångfalden påverkar dynamiken. Mångfalder som studeras inom den symplektiska geometrin är rum av jämn dimension (2, 4, 6, …), medan rummen av en udda dimension ingår i den så kallade kontaktgeometrin, en udda motsvarighet till den symplektiska. 

Ett symplektiskt rum kan effektivt beskrivas genom en viss typ av delrum, så kallade Lagrangianska delrum med en dimension som är halva det omgivande rummets dimension. Oftast är det dock svårt att veta hur dessa delrum ser ut och var de kan hittas. En redan känd omväg är att formulera problemet i algebraiska termer istället, vilket ger bättre förståelse av de symplektiska rummen och i många fall även underlättar beräkningarna. Syftet med projektet är försöka utöka de algebraiska omformuleringarna så att de ska gälla inte bara de symplektiska rummen, utan även kontaktgeometrins rum som ännu inte beskrivits på det sättet.