I gränslandet mellan geometri och aritmetik 

Gerard Freixas i Montplet är forskare vid Institut de Mathématiques de Jussieu – Paris Rive Gauche, Frankrike. Han kommer att vara gästprofessor vid Institutionen för Matematiska Vetenskaper vid Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet.

I centrum för den moderna algebraiska geometrin står idag studier av så kallade modulirum. Modulirummen konstruerades för cirka 50 år sedan som ett sätt att organisera och klassificera en stor mängd geometriska objekt. Det aktuella projektet handlar om att bättre förstå både de geometriska och talteoretiska egenskaperna hos modulirummen.

Ett modulirum kan också betraktas som en karta. Medan varje punkt på de välbekanta geografiska kartorna motsvarar en plats, motsvarar punkterna i ett modulirum olika geometriska objekt. Och på samma sätt som det går att se berg och dalar på en vanlig karta, kan man se detaljer i modulirummets landskap. Modulirum är dock mycket komplicerade kartor och flera olika angreppssätt har utvecklats för att kunna läsa av dem. Man kan exempelvis studera kartan lokalt, alltså bara ett litet område av modulirummet i taget, och försöka dra slutsatser om hela rummet. 

Oftast försöker man förstå modulirummets geometri med hjälp av fysikaliskt inspirerade egenskaper, till exempel utifrån hur ett slags temperatur varierar mellan olika punkter. I det aktuella projektet används en specifik form av värmeledningsekvationen. Denna partiella differentialekvation utvecklades för 200 år sedan för att beskriva hur värmen flyter från varmare till kallare områden. Sedan dess har ekvationen fått grundläggande betydelse inom vitt skilda vetenskapliga områden från kvantmekanik till tekniker för bildigenkänning och maskininlärning.  

En form av värmeledningsekvationen som används i detta projekt är en speciell typ av funktion, kallad analytisk torsion. Analytisk torsion byggs upp utifrån olika energinivåer som återfinns i rummet och studier av hur denna funktion varierar över modulirummet kan leda till den eftertraktade kartläggningen.