Finna regler där slumpen råder

Docent Kevin Schnelli får anslag till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Institutionen för matematik, KTH, Stockholm.

Teorin om slumpmatriser har utvecklats stort under det senaste decenniet och har fått allt fler tillämpningar inom statistik, finansiell matematik, genforskning, teknik och många andra områden. Syftet med Kevin Schnellis projekt är att finna universella egenskaper som uppvisas hos stora slumpmatriser.

Matriser, som är fyrkantiga tabeller fyllda med tal, är centrala för den matematiska beskrivningen av naturen. Till varje matris hör en uppsättning tal som kallas egenvärden som gör matrisen enklare att hantera.

För att beskriva ett stort komplext system är det ofta omöjligt att bestämma de numeriska värdena för alla elementen i matrisen. Istället ersätts de med slumpvariabler: värdena väljs slumpmässigt enligt någon regel, den så kallade lagen för slumpvariablerna. Detta angreppssätt förespråkades av den berömda fysikern Eugene Wigner på 1950-talet när han studerade energinivåer i tunga atomkärnor. Därmed startade han ett nytt forskningsområde – slumpmatristeori. 

När elementen i matrisen valts slumpmässigt, blir även egenvärdena slumpmässiga. Av stort intresse blir då fördelningen av de slumpmässiga egenvärdena, och hur de fluktuerar. Till exempel har det visat sig att när storleken hos matrisen går mot oändligheten, så följer fluktuationerna för summor av funktioner av egenvärden en normalfördelning som ges av den berömda Gaussiska klockkurvan. Detta kallas en central gränsvärdessats.

Avsikten med den föreslagna forskningen är att härleda liknande centrala gränsvärdessatser för egenvärden i multimatrismodeller för slumpmatriser. Modellerna är dels motiverade av slumpmatristeorin och sannolikhetsteorin, dels av konkreta tillämpningar inom fysik och statistik.