Ska utforska Weinstein-mångfalder

Docent Thomas Kragh får anslag till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Matematiska institutionen vid Uppsala universitet.

Det planerade projektet handlar om att besvara frågor inom symplektisk geometri med hjälp av metoder hämtade från algebraisk topologi. Symplektisk geometri i sin modernaste form står i nära relation till utvecklingen inom den moderna fysiken, som strängteorin och kvantfältteorin. Men den har även tillämpningar för förståelsen av dynamiska system i den klassiska fysiken, den symplektiska geometrins ursprungliga område från 1800-talet. Då fick Newtons ekvationer en geometrisk dräkt som gjorde det lättare att hitta lösningar och beskriva dem. 

Den symplektiska geometrin beskriver till exempel geometrin för rummet i ett mekaniskt system, det så kallade fasrummet. För ett objekt i rörelse bestäms banan i varje stund av objektets läge och hastighet. Tillsammans bestämmer de ett ytelement som är den symplektiska geometrins grundstruktur. Geometrin beskriver i vilka riktningar systemet kan utveckla sig, den beskriver rörelsen. 

Geometri blev också verktyget för Albert Einstein när han skulle utveckla sin allmänna relativitetsteori om gravitation. Med hjälp av Riemanns geometri från mitten av 1800-talet beskrev Einstein hur massan i stjärnor, galaxer och till och med svarta hål kröker rymden, som i hans teori har fyra dimensioner (tre rumsdimensioner och en tidsdimension). Såsom Riemanns geometri hör ihop med den klassisk mekaniska beskrivningen av gravitationen, hör den symplektiska geometrin ihop med dess kvantmekaniska beskrivning i teorin om supersträngar som beskriver vår värld i elva dimensioner (fast vi kan bara uppfatta fyra av dem).

En speciell klass av symplektiska rum är de ännu inte fullt utforskade Weinstein-mångfalder. Tanken med projektet är att tillämpa metoderna från algebraisk K-teori, som redan framgångsrikt använts vid studier av vanliga topologiska mångfalder, för att även avslöja Weinstein-mångfaldernas egenskaper.