Nyckeln till att förena globala och lokala egenskaper

Docent Alexander Berglund får anslag till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Matematiska institutionen vid Stockholms universitet.

Att jorden är rund trodde folk redan under antiken. Lokalt verkar den platt som ett ark papper, men ser man till det globala så är jorden en sfär. Många matematiska principer handlar om att bestämma globala egenskaper i termer av lokala. Detta är även syftet med det planerade projektet inom den algebraiska topologin. 

Generellt är topologi en form av geometri där man bara tar hänsyn till objektens former – en triangel, en cirkel och en rektangel är likvärdiga mångfalder utifrån topologins synsätt. En central del av den algebraiska topologin är utvecklad för att beskriva mångfalder och deras transformationer. Men mångfalder kan vara väl så invecklade, och en lösning är att approximera en mångfald med en algebraisk modell. 

Ett enkelt exempel är att approximera vägar med några punkter. Istället för att rita hela vägen kan man bara rita först en punkt på vägen, sedan två, tre, osv. Om man tar många punkter får man en god approximation av vägen. Det betyder att om man vill studera rummet av vägar kan man istället studera det enklare rummet av många punkter med hjälp av algebraiska metoder.

När en liknande metod, fast för speciella familjer av högre dimensionella släta mångfalder tillämpas, kan viktiga invarianter definieras lokalt i termer av hur de enskilda mångfalderna i familjen är krökta. Samtidigt ger de en global invariant för hela familjen. Alla de globala invarianterna för släta familjer av mångfalder tillsammans ger en så kallad tautologisk ring, vars ursprung alltså är de lokala invarianterna. Tautologiska ringar för ytor har studerats i hög utsträckning, men tautologiska ringar för mångfalder av högre dimension är än så länge ett relativt outforskat område. Projektet bygger på en ny idé att approximera släta familjer av mångfalder och på så sätt utforska de tautologiska ringarna för de högre dimensionella släta mångfalderna.