Sannolikheter i en platt värld

Tomas Berggren, som ska disputera i matematik vid KTH 2020, har erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Alexei Borodin vid Massachusetts Institute of Technology (MIT) i Boston, USA.

I en stor del av den moderna sannolikhetsforskningen ingår försök att förstå beteendet hos stora och komplexa slumpmässiga system, som till exempel turbulenta vätskor, sprickbildning eller trafikflöden. Oftast är dessa system alldeles för stora och komplexa för att omfattas helt av en datormodell. Istället skapas förenklade modeller av sådana system som är tillräckligt komplexa för att spegla väsentliga aspekter av de fenomen som studeras, och samtidigt så enkla att de möjliggör exakta matematiska beräkningar. 

En familj av modeller som visat sig speciellt användbara är en sorts slumpmässig
plattläggning, där en plan yta ska täckas med rektangulära dominobrickor. Ett känt och välstuderat exempel är att täcka en kvadrat med brickor. Även om brickorna läggs slumpmässigt, så har det visat sig att det går att hitta en viss struktur hos alla plattläggningar, förutsatt att den täckta ytan är väldigt stor. 

Så sker det till exempel i en vidareutveckling av modellen där en yta som kallas för aztekisk diamant studeras. En aztekisk diamant är en roterad kvadrat med trappformade kanter. Om den aztekiska diamanten är tillräckligt stor, så kommer det för varje plattläggning med dominobrickor nästan alltid att hitta en cirkelformad struktur. Utanför cirkeln är brickorna ordnade, medan innanför är de oordnade. 

Givet en yta och typ av plattor, går det också att sätta vikter på en del utvalda plattor
i en plattläggning, så att vissa plattläggningar blir mer sannolika än andra. I sådana viktade modeller har helt nya fenomen upptäckts. Däremot är väldigt lite känt om vilka fenomen som kan förväntas dyka upp, varför de gör det och vilka av dessa fenomen som också dyker upp i andra sammanhang. Tomas Berggrens planerade projekt går ut på att utveckla förståelsen för dessa viktade modeller.