Att avslöja egenskaper hos geometriska familjer

Nasrin Altafi som disputerade i matematik vid KTH 2020, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Gregory G. Smith vid Queen’s University i Kingston, Ontario, Kanada.

Nasrin Altafis projekt handlar om grundläggande problem inom algebraisk geometri. Det är ett klassiskt område inom matematiken där algebraiska ekvationer för geometriska objekt länkas samman med objektens geometri. På så sätt kan algebraiska verktyg användas till att lösa geometriska problemställningar. 

Ett av de centrala problemen inom den algebraiska geometrin är att klassificera familjer av geometriska objekt som delar en specifik egenskap. Ofta har inte alla utan bara nästan alla familjemedlemmar denna specifika egenskap. Till exempel för nästan varje uppsättning av tre punkter i planet finns det en triangel med en punkt i varje hörn. Men det stämmer inte alltid – om de tre punkterna ligger på en linje degenererar triangeln till ett dubbelt övertäckt intervall. Fenomenet är relaterat till en berömd egenskap hos den så kallade Hilbertfunktionen av de geometriska objekten. Med hjälp av Hilbertfunktionen kan man beräkna hur många oberoende egenskaper det går att finna för ett givet geometriskt objekt. 

Under de senaste femtio åren har alltmer omfattande numeriska beräkningar kunnat genomföras med allt kraftfullare datorer. Trots det finns det fortfarande stora begränsningar då även till synes små problem kan leda till beräkningar som med dagens datorer tar längre än en livstid. Därför kommer istället nya beräkningsmetoder inom algebra, geometri och kombinatorik att tillämpas inom projektet för att studera hur medlemmar i en familj av geometriska objekt uppträder i termer av Hilbertfunktionen.