Nya beräkningar ska lösa gamla problem

Eric Ahlqvist som ska disputera i matematik vid KTH 2022, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Clark Barwick vid University of Edinburgh, Skottland, Storbritannien.

Det aktuella projektet berör två mycket tätt sammanflätade områden inom matematiken – talteori och algebraisk geometri. Den moderna algebraiska geometrin utvecklades under 1960-talet för att metoder från geometri och topologi skulle kunna tillämpas för att lösa aritmetiska problem. Aritmetiska objekt omvandlas då till geometriska. Till exempel betraktas heltalen, som är ett aritmetiskt objekt, av den algebraiska geometrin som en kurva – ett geometriskt objekt. Då kan geometriska verktyg användas för att utvinna information om heltalen. 

Ett exempel på ett sådant verktyg är vad som kallas étale-kohomologi, vilket i sig är ett algebraiskt objekt med operationer som addition och multiplikation. Men att göra beräkningar i étale-kohomologin är mycket komplicerat och ända sedan de första försöken gjordes på 1970-talet har det varit okänt hur man multiplicerar element i étale-kohomologin. Problemet löstes nyligen av Eric Ahlqvist tillsammans med medförfattaren Magnus Carlson.

Inom étale-kohomologin finns även andra operationer, som till exempel de så kallade Masseyprodukterna. Målet i en första del av detta projekt är att hitta formler för hur man beräknar Masseyprodukter och använda dem till att lösa ett gammalt problem inom talteorin. Problemet går tillbaka till den tyske matematikern David Hilbert som år 1900 formulerade en lista på 23 problem för det kommande seklet, varav flera inte är lösta än.  

I den andra delen av projektet studeras ett annat kraftfullt hjälpmedel från den algebraiska geometrin, den så kallade kompaktifieringen. Planen är att bevisa att kompaktifiering är möjlig att genomföra för en viss speciell klass av geometriska objekt.