Modeller för en sammankopplad värld

Johan Wärnegård som disputerade i matematik vid KTH 2021, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Qiang Du vid Columbia University, New York, USA. 

En central fråga inom den tillämpade matematiken är att utveckla modeller och algoritmer för datorsimuleringar av verkliga fenomen. Svåra, tidskrävande och dyra experiment kan då ersättas med simuleringar i datorn. Ett sådant fysikexperiment som projektet handlar om är Bose-Einsteinkondensat. Det bildas när partiklar som kyls ner till nära absoluta nollpunkten börjar uppträda som en enda stor atom. Istället för att beskriva varje partikel och dess kvantegenskaper för sig kan då kvantfysiken studeras i makroskala. 

För att beräkna hur kondensatet utvecklas med tiden används svårlösta icke-linjära partiella differentialekvationer. Icke-linjäriteten innebär att hela lösningen inte kan beräknas som en summa av dellösningar till enklare problem. Partiella differentialekvationer saknar oftast exakta lösningar, istället löses de numeriskt med hjälp av datorer som hittar approximativa lösningar. För Bose-Einsteinkondensatet skulle datorn få räkna i flera år med traditionella metoder. 

För att snabba upp beräkningarna krävs därför nya matematiska verktyg. Ett sätt att konstruera effektivare algoritmer är att utveckla de gängse multiskalmetoderna. Med dem får problemet först en exakt lösning lokalt, i en liten skala, och i nästa steg söker man en lösning för en större längd- och tidsskala fast med något mindre noggrannhet. Problemet blir då icke-lokalt eftersom hänsyn måste tas till hur de lokala lösningarna samverkar på ett, dessutom icke-linjärt sätt, för att slutgiltigt ge lösningen på den större skalan.

Nya modeller för icke-lokala fenomen skulle kunna vara användbara inte bara för att beskriva Bose-Einsteinkondensaten och kvantfysiken utan även en allt större mängd företeelser där det lokala och icke-lokala är sammankopplade. Till exempel tar en självkörande bil beslut om hur agera lokalt genom att även beakta hur bilar längre bort kör.