Nya perspektiv på evolutionära frirandsproblem

Professor Kaj Nyström får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Matematiska institutionen vid Uppsala universitet.

Många fysikaliska processer, som till exempel värmeledning, kan beskrivas med hjälp av partiella differentialekvationer. För att finna lösningar till dessa ekvationer behöver differentialekvationerna uppfylla vissa antaganden, och de sökta lösningarnas värde vid starten (begynnelsevillkor) eller i andra punkter i rummet eller i tiden (randvillkor) specificeras. 

Det planerade projektet gäller frirandsproblem och dessa utgör en speciell klass av problem styrda av partiella differentialekvationer. Här söker man inte bara en lösning i form av en funktion utan även randvillkoren som är okända, och som måste bestämmas som en del av problemet. Syftet med det aktuella projektet är att utveckla nya perspektiv på en klass av problem i vilka den fria randen rör sig i både rum och i tid. Dessa problem kallas ofta evolutionära frirandsproblem.

Sådana frirandsproblem uppstår i matematiska modeller för fenomen inom naturvetenskaperna, teknik, finans och medicin. Ett flertal modeller behandlar fasövergångar, som exempelvis den bekanta övergången mellan is och vatten då temperaturen passerar nollpunkten. Här kan värmeekvationen lösas då randvillkoren är kända, men om till exempel temperaturen i en del av isen överstiger nollpunkten så att det där bildas vatten, så kommer gränsen mellan is och vatten att bli föränderlig och problemet omvandlas till ett evolutionärt frirandsproblem. 

Även modeller för tillväxten av tumörer, prissättning av optioner, smältning av metaller samt flamutbredning utgör evolutionära frirandsproblem. Trots talrika tillämpningar saknas idag grundläggande analys av flera av dessa modeller. I projektet är planen är att i första hand utveckla ett ramverk för att bättre förstå den fria randens geometri.