Att jämföra avbildningar av topologiska rum

Louis Hainaut som ska disputera i matematik vid Stockholms universitet 2024, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Benson Farb vid University of Chicago, Illinois, USA.

Algebraisk topologi använder algebra för att mäta topologiska egenskaper och har visat sig vara effektiv för att klassificera topologiska objekt med hjälp av topologiska invarianter. Invarianter är egenskaper som inte förändras när topologiska objekt genomgår kontinuerlig deformation utan att gå sönder, t.ex. sträckning eller vridning. Topologiska objekt är de rum där geometri utspelar sig och är blinda för kvantitativ geometri som vinklar, längder, ytor och volymer.

En grundläggande topologisk invariant är homologi. Idén om homologi utvecklades för analys av hål i geometriska objekt. Den härstammar från Eulers polyederformel uppkallad efter den schweiziska matematikern Leonhard Euler. I mitten av 1700-talet bevisade han att summan av antalet hörn och sidor hos en polyeder, som en kub eller tetraeder, alltid är lika med antalet kanter plus två. 

Begreppet homologi utvecklades under de kommande århundraden och visade sig så småningom ha oerhört breda tillämpningar inom matematiken. Av särskilt intresse för det planerade projektet är konfigurationsrum och studier av förhållandet mellan avbildningar av topologiska rum till sig själva och avbildningar av deras relaterade homologigrupper.

Foto: Dan Petersen