Grafkomplex – ett nytt verktyg inom den algebraiska topologin

Robin Stoll som ska disputera i matematik vid Stockholms universitet 2024, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Oscar Randal-Williams vid University of Cambridge.

Algebraisk topologi använder verktyg från algebra för att undersöka abstrakta geometriska objekt, såsom ett plan, en sfär eller en torus*. Alla tre är tvådimensionella exempel på så kallade mångfalder, som tillsammans med analoger i högre dimensioner är de centrala studieobjekten inom topologi.

Under de senaste århundradena har studiet av mångfalder spelat en viktig roll inom olika områden av matematik och teoretisk fysik. Många av deras egenskaper är dock fortfarande okända, och syftet med detta postdoktorala projekt är att utforska nya metoder för att förstå vissa abstrakta mångfalder med ett udda antal dimensioner.

Frågan om att klassificera grenrör och deras symmetrier har drivit utvecklingen av algebraisk topologi under 1900-talet. Två mångfalder sägs tillhöra samma klass om de kan deformeras till varandra utan att de går sönder eller klibbar samman. Att förstå samlingen av alla grenrör som tillhör en sådan klass är av stor vikt. Detta problem har dock visat sig vara extremt svårt att lösa.

Det har här stor betydelse om dimensionen är jämn eller udda. Det senaste decenniet har stora framsteg gjorts avseende mångfalder med jämna dimensioner. Projektet kommer att testa en ny metod som använder grafkomplex för att undersöka fallet med udda dimensioner.

*Torus är inom matematiken en sluten yta, till exempel som ett ”0” eller en munk med hål i mitten.