Att finna rätt mått för abstrakta geometriska objekt

Rolf Andreasson som ska disputera i matematik vid Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 2026, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Cristiano Spotti vid Århus universitet, Danmark.

Algebraisk geometri är studiet av varieteter, geometriska motsvarigheter till lösningar av algebraiska ekvationer. En enkel varietet är en cirkel med radie r, given av lösningarna till ekvationen x²+y²=r². Varieteter kan dock vara betydligt mer abstrakta geometriska objekt, och ett sätt att organisera dem är att tilldela varje objekt en punkt i ett modulirum, som parameteriserar alla objekt av samma typ och där liknande objekt hamnar nära varandra.

Ett verktyg för att undersöka varieteter är att studera deras metriker – sätt att mäta avstånd i rummet. En välkänd metrik är Kähler–Einstein-metriken, som också kan användas för att definiera en naturlig metrik på modulirummet: Weil–Petersson-metriken. I de flesta fall kan dock varken Kähler–Einstein- eller Weil–Petersson-metriken beskrivas explicit.

I projektet utvecklas en metod för att konstruera en explicit approximation av Weil–Petersson-metriken, som är inspirerad av en tidigare approximation av Kähler–Einstein-metriken. Metoden har sitt ursprung i statistisk mekanik, studiet av stora system av interagerande partiklar. När antalet partiklar växer framträder Kähler–Einstein-metriken ur systemets kollektiva beteende.

Syftet är att visa hur även Weil–Petersson-metriken kan uppstå ur samma partikelsystem. En central roll spelas av partitionsfunktionen, ett grundläggande begrepp i statistisk mekanik. Den ger upphov till en ny och mer explicit metrik på modulirummet. När antalet partiklar växer finns skäl att tro att denna metrik approximerar Weil–Petersson-metriken och därmed ger ett nytt sätt att förstå den.

Foto: Setta Aspström