Ekvationer för heltal i nytt ljus

Dr Simon L. Rydin Myerson får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Institutionen för matematiska vetenskaper, Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet.

Kan du föreställa dig att musikalisk harmoni och "y² = x³" är kopplade? Det börjar med det berömda arbetet av Srinivasa Ramanujan om cirkelmetoden på 1910-talet. Det går till så här: föreställ dig alla möjliga värden som kan dyka upp på varje sida av en ekvation som tonhöjder av musikaliska noter som alla spelas samtidigt. Om vi upptäcker formen på den resulterande ljudvågen kan vi dra slutsatser om hur vanliga lösningarna på ekvationen är.

Frågor om heltalslösningar till polynomekvationer ställdes redan under antiken av den grekiske matematikern Diofantos från Alexandria. Diofantiska ekvationer har sedan dess sysselsatt många av de största matematikerna, såsom Fermat, Euler och Gauss, och har varit källan till helt nya fält inom matematiken. År 1970 gjorde Yuri Manin en djupgående förmodan om hur vanliga lösningarna borde vara för algebraiska ekvationer med många variabler. Många forskare arbetar för att förfina och testa hans teori.

Syftet med projektet är att nå nya resultat för antalet lösningar till system av diofantiska ekvationer. För detta kommer cirkelmetoden att användas. Metoden bygger på uppskattningar av specifika integraler som ekvationerna ger upphov till. För system av diofantiska ekvationer av grad högre än 2 ska en ny idé från 1930-talets matematik testas. Detta kommer även att ge nya insikter om diofantisk approximation, som beskriver hur väl irrationella tal (såsom roten ur 2) kan approximeras med rationella tal (bråktal som 3/2 eller 7/5).