Att höra formen av en trumma

Simon Larson som ska disputera i matematik vid KTH 2019, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Rupert Frank vid Ludwig-Maximilians-Universität,München, Tyskland.

Det föreslagna projektet ligger i skärningspunkten mellan matematisk fysik, geometri och spektralteori. Intresset att studera sambandet mellan geometri och spektralteori ökade markant år 1966 då den polsk-amerikanske matematikern Mark Kac höll sin hyllade föreläsning. Han ställde frågan: Kan en person med absolut gehör avgöra formen av ett trummembran utifrån dess ljud? Först nästan trettio år senare kunde matematiker besvara frågan. Nej, det går inte att höra formen på en trumma.

Den matematiska utmaningen var här att härleda formen på en yta utifrån dess egenvärden, konstanter som beskrivs av ytan. Det är de frekvenser som ytan kan svänga i och uppsättningen av dessa frekvenser kallas för ytans spektrum. Frågan är då: om spektrumet för en yta är lika med spektrumet för en annan, kan man dra slutsatsen att ytorna är geometriskt identiska? Nu visade det sig att det var möjligt att konstruera två olika ytor med samma egenvärden, vilket innebär att det inte går att entydigt härleda en yta utifrån dess spektrum. Med andra ord – formen på trumman kan variera, men ljudet förblir detsamma.

Det är alltså omöjligt att exakt avgöra geometrin hos ett område utifrån dess spektrum. Men det går att till exempel beskriva områdets area eller omkrets. Det föreslagna forskningsprojektet handlar om att utifrån egenvärden förstå geometrin hos områden som löser vissa sorters extremalproblem, till exempel minimerar egenvärdena. Många av problemen har sina rötter inom matematisk fysik, och framför allt kvantmekaniken, där spektrum ges av ljusfrekvenser. Men oavsett varifrån problemet härstammar är det ofta användbart att förstå egenskaperna hos dess lösningar särskilt när det inte går att ge ett exakt svar.