Kvantitativa metoder inom semiklassisk spektralteori

Dr Simon Larson får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Institutionen för matematiska vetenskaper, Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet.

Spektralteori tillhör den klassiska analysen inom matematiken och utöver det rent matematiska intresset har den många tillämpningar inom fysik och teknik. Det föreslagna projektet ligger i skärningspunkten mellan spektralteori, geometri och matematisk fysik.

Sambandet mellan geometri och spektralteori populariserades av den polsk-amerikanske matematikern Mark Kac som år 1966 ställde frågan: går det att höra formen på ett trummembran? Svaret kom nästan 30 år senare: nej, det går inte att höra formen på en trumma, samma ljud kan komma från olika trummembran. Men det går att avgöra vissa egenskaper hos membranen, som dess area och omkrets.

Matematiskt formuleras frågan i termer av en operators egenvärden (de frekvenser som membranen svänger med) för att utifrån egenvärdena återskapa den underliggande geometrin. I projektet är frågeställningen omvänd och handlar om att förstå egenvärdena utifrån kunskap om operatorn, och då speciellt kvantmekanikens Schrödingeroperatorer där egenvärden motsvarar energinivåer hos partiklar eller system av partiklar. 

Av speciellt intresse här är frågan om hur Schrödingeroperatorernas egenvärden fördelar sig asymptotiskt mot oändligheten. Intresset motiveras av att det är just i denna så kallade semiklassiska gräns mot oändligheten som kvantmekanik övergår i den klassiska mekaniken. Det föreslagna projektet syftar till att utveckla nya verktyg för att uppskatta noggrannheten hos semiklassiska approximationer under minimala antaganden om de underliggande operatorerna.