Okända egenskaper hos abstrakta geometriska objekt 

Dr Sofia Tirabassi får anslag till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Matematiska institutionen vid Stockholms universitet.

Syftet med Sofia Tirabassis projekt är att utveckla nya metoder för studier inom algebraisk geometri, en gren av matematiken som behandlar sambandet mellan polynomekvationer och deras tillhörande geometriska objekt – varieteter. En enkel varietet är en cirkel med radien r, den geometriska figuren som beskrivs av ekvationen x2 +y2 = r2. De flesta varieteter är dock mycket mer komplicerade, och beskrivs av hundratals ekvationer och variabler. Att undersöka deras geometriska egenskaper direkt är nästan otänkbart.

Huvudmålet med projektet är att utveckla nya tekniker för att studera geometrin för varieteter med särskilt fokus på algebraiska varieteter i så kallad positiv karaktäristik. Dessa är vanligtvis lösningsmängder till polynomekvationer med koefficienter i ändliga talsystem. Ett ändligt talsystem kan exempelvis vara mängden av de tre möjliga rester (0,1,2) som blir över när ett heltal delas med 3. På denna mängd kan man definiera två operationer som uppfyller aritmetiska regler liknande de som gäller för vanlig addition och multiplikation. De två operationerna tillsammans med koefficienterna kan då definiera en polynom i denna mängd. Och om det finns polynom finns det även polynomekvationer och därmed algebraiska varieteter.

Till varje algebraisk varietet finns en tillhörande härledd kategori. Detta är ett verktyg som introducerades av den franske matematikern Jean-Louis Verdier på 1960-talet och som lett till många framsteg inom forskningen om varieteter över de komplexa talen. Härledda kategorier har sedan dess blivit oumbärliga även utanför algebraisk geometri, till exempel används de för att studera strängteori och kvantfysik. Men deras roll i studier av geometrin för varieteter i positiv karaktäristik är fortfarande till stor del outforskad. Projektets mål är att fylla denna lucka.

Foto: Solfrid T. Langeland/UiB