På väg mot matematikens teori om allting

Stefan Reppen som ska disputera i matematik vid Stockholms universitet 2024, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Sug Woo Shin vid University of California, Berkeley.

Många komplicerade framsteg inom matematisk forskning har sin grund i en önskan att lösa en ekvation. Men det är ofta omöjligt att göra det genom att laborera direkt med själva ekvationen och i stället kopplas lösningarna till abstrakta geometriska objekt, algebraiska varieteter. Dessa i sin tur är byggstenar till än mer sofistikerade geometriska objekt kallade Shimuravarieteter. 

Shimuravarieteterna utgörs av familjer av algebraiska varieteter. De har hamnat i fokus för den moderna talteorin då de något oväntat spelade en avgörande roll i beviset av talteorins mest berömda problem – Fermats stora sats från 1600-talet. Den franske matematikern hävdade då att han hade ett bevis för att ekvationen xⁿ + yⁿ = zⁿ inte har några lösningar bland de positiva heltalen för n större än 2. Det riktiga beviset kom först 1995, och förutom Shimuravarieteter användes även modulära former för att föra den nästan 400 år gamla satsen i bevis. 

Det aktuella projektet använder sig av modulära former, som är ett slags funktioner på Shimuravarieterna, för att utforska vissa aspekter av varieteternas grundläggande geometriska struktur. I förlängningen bidrar dessa studier till att finna djupa kopplingar mellan geometri och talteori vilket är syftet med en av de största satsningarna inom den moderna matematiken – Langlandsprogrammet – ibland kallad ”matematikens teori om allting”.