Effektiva algoritmer för ny matematik

Stefano Marseglia, som disputerade i matematik vid Stockholms universitet 2018, har erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Andrew Sutherland vid Massachusetts Institute of Technology (MIT) i Boston, USA.

För matematiker är det viktigt att kunna beskriva, klassificera och systematisera matematiska objekt. Några av objekten som studeras inom aritmetisk geometri, som är en tillämpning av algebraisk geometri på talteorin, kallas varieteter och modulirum. En varietet är en geometrisk form given av lösningar till polynomekvationer, en enkel sådan kan vara en linje som ges av en första grads ekvation. Ett modulirum är ett sätt att organisera varieteterna, för att bättre förstå dem. Modulirum kan även vara objekt intressanta att studera i sig själva. 

Studier av dessa objekt, vilka under de senaste decennierna har höjts till allt högre abstraktionsnivåer, har lett till att den algebraiska geometrin har visat sig ha djupa kopplingar till nästan alla grenar av matematiken. Idén om att hitta gemensamma grunder för de olika matematikgrenarna var i själva verket den ursprungliga motivationen till denna utveckling.

Stefano Marseglia ska undersöka speciella sorts varieteter, de abelska varieteterna, och deras modulirum. En del av dessa, de som handlar om komplexa tal, är rätt väl kända redan. Utifrån de senaste årens framsteg inom området kan kunskapen om de abelska varieteterna breddas till att även gälla andra fall. 

Förutom det nödvändiga teoretiska arbetet kommer tyngdpunkten ligga på att skapa effektiva algoritmer för beräkningar av de abelska varieteterna över ändliga kroppar, de tillhörande modulirummen och deras egenskaper. Med kraftfulla datorer kan flera hundra tusen exempel på aldrig tidigare skådade abelska varieteter beräknas. Tanken är att göra algoritmerna tillgängliga för alla intresserade och bygga upp en rik källa för vidare studier inom aritmetisk geometri.